Question

8．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），连接BC、AC，该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D的坐标及直线BC的函数解析式；
（3）点Q在线段BC上，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出点Q的坐标；
（4）在（3）的条件下，若存在点Q，请任选一个Q点求出△BDQ外接圆圆心的坐标．

Answer 1

分析 （1）设二次函数为y=a（x+2）（x-4），把点C（0，3）代入求出a的值即可得出二次函数的解析式，进而得出抛物线的解析式；
（2）求出对称轴方程，故可得出D点坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（3）根据勾股定理求出BC的长，由于相似三角形的对应角不能确定，故应分∠QDB=∠CAB和∠DQB=∠CAB两种情况进行讨论；
（4）当点Q的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）时，设圆心的M（$\frac{5}{2}$，y），根据MD=MQ即可求出y的值，故可得出结论．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），
∴设二次函数为y=a（x+2）（x-4），
把点C（0，3）代入得，a（0+2）（0-4）=3，
解得a=-$\frac{8}{3}$，
∴这个二次函数的解析式为：y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3；…（4分）
（2）∵y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3=-$\frac{3}{8}$（x-1）²+$\frac{27}{8}$，
∴抛物线的对称轴是直x=1，
∴点D的坐标为（1，0）．
设直线BC的解析式为；y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3．
（3）∵A（-2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0），
∴OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
如图1，

当∠QDB=∠CAB时，$\frac{QB}{CB}=\frac{DB}{AB}$，$\frac{QB}{5}$=$\frac{3}{6}$，
解得QB=$\frac{5}{2}$，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
∵OC⊥x轴，
∴QH∥CO．
∴$\frac{QH}{3}$=$\frac{\frac{5}{2}}{5}$．
解得QH=$\frac{3}{2}$．
把y=代入y=-x+3，得x=2．
∴此时，点Q的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）；
如图2，

当∠DQB=∠CAB时，$\frac{QB}{AB}=\frac{DB}{CB}$，即$\frac{QB}{6}=\frac{3}{5}$，得QB=$\frac{18}{5}$．
过点Q作QG⊥x轴于点G，
∵OC⊥x轴，
∴QG∥CO．
∴$\frac{QG}{3}=\frac{\frac{18}{5}}{5}$．解得QH=$\frac{54}{25}$．
把y=$\frac{54}{25}$代入y=-x+3，得x=$\frac{28}{25}$．
∴此时，点Q的坐标为（$\frac{28}{25}$，$\frac{54}{25}$）．
综上所述，点Q坐标为（2，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{28}{25}$，$\frac{54}{25}$）；
（3）当点Q的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）时，设圆心的M（$\frac{5}{2}$，y）．
∵MD=MQ，
∴（$\frac{5}{2}$-1）²+y²=（$\frac{5}{2}$-2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²，解得y=$\frac{1}{12}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{12}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、抛物线的顶点坐标、相似三角形的性质等相关知识，难度较大．