【题目】在△ABC中,∠A=40°
(1)如图1,若两内角∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,则∠P= ,∠A与∠P之间的数量关系是 .为什么有这样的关系?请证明它;
(2)如图2,若内角∠ABC、外角∠ACE的角平分线交于点P,则∠P= ,∠A与∠P之间的数量关系是 ;
(3)如图3,若两外角∠EBC、∠FCB的角平分线交于点P,则∠P= ,∠A与∠P之间的数量关系是 .
【答案】(1)110°,∠P=90°+∠A;(2)20°,∠P=
∠A;(3)70°,∠P=90°﹣
∠A,理由见解析
【解析】
(1)根据三角形内角和定理求出∠B和∠C,再根据角平分线的性质和三角形内角和是180°求出∠P=180°﹣(∠B+∠C);(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和以及叫平分线的性质可求出∠P,可得∠A与∠P之间的数量关系;
(3)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求得:∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A,在△BCP中根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求解.
解:(1)∠ABC+∠C=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°
∴(∠ABC+∠C)=
×140°=70°,
∴∠P=180°﹣(∠ABC+∠C)=110°.
∠A与∠P之间的数量关系是∠P=90°+∠A;
(2)∵∠ACE=
∠ABC+∠P,
∴(∠A+∠ABC)=
∠ABC+∠P,
∴(40°+∠ABC)=
∠ABC+∠P,
∴∠P=20°.
∠A与∠P之间的数量关系是∠P=∠A;
(3)∵∠EBC=∠A+∠ACB,∠BCF=∠A+∠ABC,
∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A,
∴∠PBC+∠PCB=90°+∠A.
又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°,
∴90°+∠A+∠P=180°,即∠P=90°﹣
∠A.
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【题目】如图所示的方格地面上,标有编号A,B,C的3个小方格地面是空地,另外6个小方格地面是草坪,除此以外小方格地面完全相同.
(1)一只自由飞行的鸟,将随意地落在图中的方格地面上,问小鸟落在草坪上的概率是多少?
(2)现从3个小方格空地中任意选取2个种植草坪,则刚好选取A和B的2个小方格空地种植草坪的概率是多少(用树形图或列表法求解)?
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【题目】如图,△ABC的角平分线CD、BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G,下列结论:①∠CEG=2∠DCB;②∠ADC=∠GCD;③CA平分∠BCG;④∠DFB=∠CGE.其中正确的结论是( )
A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
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【题目】如图,两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置,PA、PB与直线MN重合,且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转.
(1)直接写出∠DPC的度数.
(2)如图②,在图①基础上,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速为5°/秒,同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速为1°/秒,(当PA转到与PM重合时,两三角板都停止转动),在旋转过程中,当PC与PB重合时,求旋转的时间是多少?
(3)在(2)的条件下,PC、PB、PD三条射线中,当其中一条射线平分另两条射线的夹角时,请直接写出旋转的时间.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,3 ),B(4,0)两点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN , 求出 的值,并求出此时点M的坐标.
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【题目】现有若干张如图1所示的正方形纸片A,B和长方形纸片C.
(1)小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形,通过用两种不同的方法计算新正方形面积,由此,他得到了一个等式:______ ;
(2)小王再取其中的若干张纸片(三种纸片都要取到)拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形,则n可取的正整数值是______ ,并请你在图3位置画出拼成的长方形;
(3)根据拼图经验,请将多项式a2+5ab+4b2分解因式.
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【题目】如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A. ∠M=∠N B. AM=CN C. AB=CD D. AM∥CN
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【题目】如图,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板 (∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方,将如图中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周。
(1)几秒后ON与OC重合?
(2)如图,经过t秒后,MN∥AB,求此时t的值。
(3)若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,那么经过多长时间OC与OM重合?请画图并说明理由。
(4)在(3)的条件下,求经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由。
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【题目】如图,已知∠AOB内部有三条射线,OE平分∠AOD,OC平分∠BOD.
(1)若∠AOB=90°,求∠EOC的度数;
(2)若∠AOB=α,求∠EOC的度数;
(3)如果将题中“平分”的条件改为∠EOA=∠AOD,∠DOC=
∠DOB且∠DOE:∠DOC=4:3,∠AOB=90°,求∠EOC的度数.
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