Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；
（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得C（0，3）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入可求得a的值；
（2）依据轴对称图形的性质可知PA=PB，则PA+PC=PB+PC，则当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，PA+PC的最小值=BC，接下来，依据勾股定理求解即可；
（3）设点Q的坐标为（1，m），则QM=|m|，然后依据相似三角形的性质可得到∠OQM=∠CAO或∠OQM=∠ACO，然后依据相似三角形的性质列比例求解即可．

解答 解：（1）把x=0代入得：y=3，
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入得：3=-3a，解得：a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）如图所示：

∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，
∴PA=PB．
∴PA+PC=PC+PB．
∵两点之间线段最短，
∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，PA+PC的最小值=BC．
∵OC=3，OB=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$．
∴PA+PC的最小值=3$\sqrt{2}$．

（3）抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1．
设点Q的坐标为（1，m），则QM=|m|．
∵以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似，
∴∠OQM=∠CAO或∠OQM=∠ACO．
当∠CQM=∠CAO时，$\frac{OM}{QM}$=$\frac{CO}{AO}$，即$\frac{1}{|m|}$=$\frac{3}{1}$，解得m=$±\frac{1}{3}$．
∴点Q的坐标为（1，$\frac{1}{3}$）或（1，-$\frac{1}{3}$）．
当∠OQM=∠ACO时，$\frac{OM}{QM}$=$\frac{AO}{CO}$，即$\frac{1}{|m|}$=$\frac{1}{3}$，解得：m=±3，
∴点Q的坐标为（1，3）或（1，-3）．
综上所述，点Q的坐标为（1，$\frac{1}{3}$）或（1，-$\frac{1}{3}$）或（1，3）或（1，-3）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、轴对称最短路径、相似三角形的判定和性质，设出抛物线的适当形式是解答问题（1）的关键；利用轴对称的性质和线段的性质将PA+PC的长转化为BC的长是解答问题（2）的关键；利用相似三角形的性质列出比例式是解答问题（3）的关键．