【题目】如图①,四边形OACB为长方形,A(﹣6,0),B(0,4),直线l为函数y=﹣2x﹣5的图象.
(1)点C的坐标为 ;
(2)若点P在直线l上,△APB为等腰直角三角形,∠APB=90°,求点P的坐标;
小明的思考过程如下:
第一步:添加辅助线,如图②,过点P作MN∥x轴,与y轴交于点N,与AC的延长线交于点M;
第二步:证明△MPA≌△NBP;
第三步:设NB=m,列出关于m的方程,进而求得点P的坐标.
请你根据小明的思考过程,写出第二步和第三步的完整解答过程;
(3)若点P在直线l上,点Q在线段AC上(不与点A重合),△QPB为等腰直角三角形,直接写出点P的坐标.
【答案】(1)(﹣6,4);(2)(﹣5,5),见解析;(3)(﹣3,1)或(﹣7,9)
【解析】
(1)根据矩形的性质可以求得.
(2)由△MPA≌△NBP列出方程即可求解.
(3)分三种情形讨论①,利用图1中
即可求出.
②,利用图2中
即可求出.
③,利用图3中
即可求出.
解:(1)∵四边形AOBC是矩形,
,
∴点C的坐标为.
故答案为C.
(2)根据题意得:,
∵为等腰直角三角形,
,
,
,
,
在中,
,
,
,
设,则
,
,
,
解得:,
∴点P的坐标为;
(3)设点Q的坐标为,
分3种情况讨论:
①当时,如右图,过点P作
轴于点M,点Q作
轴于点N,
,
,
在中,
,
,
代入,解得:
,
.
此时点Q不在线段AC时,不合题意,舍弃.
②当时,
若点P在BQ上方,即为(2)的情况,此时点Q与点A重合,由于题设中规定点Q不与点A重合,故此种情况舍去;
若点P在BQ下方,如右图,过点P作于点N,作
轴于点M,
设,
,
,
在中,
,
,
,
,
把P坐标代入,得
,
解得:.
此时点P的坐标为;
③当时如右图,过点Q作
轴于点M,过点P作
垂足为N,
设,
,
,
在中,
,
,
,
,
把P坐标代入,得:
,
解得:,此时点P的坐标为
,
综上所述,点P的坐标为或
.
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【题目】如图,分别以Rt△ABC的直角边AC,斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE,F为AB的中点,连接DF,EF,∠ACB=90°,∠ABC=30°.则以下4个结论:①AC⊥DF;②四边形BCDF为平行四边形;③DA+DF=BE;④其中,正确的 是( )
A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB.
(1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线;
(2)若AD=2,AE=6,求EC的长.
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【题目】在△PQN中,若∠P=∠Q+α(0°<α≤25°),则称△PQN为“差角三角形”,且∠P是 ∠Q的“差角”.
(1)已知△ABC是等边三角形,判断△ABC是否为“差角三角形”,并说明理由;
(2)在△ABC中,∠C=90°,50°≤∠B≤70°,判断△ABC是否为“差角三角形”,若是,请写出所有的“差角”并说明理由;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,在四边形中,
是对角线,
,
,延长
交
的延长线于点
.
(1)求证:;
(2)若,求
的值;
(3)过点作
,交
的延长线于点
,过点
作
,交
的延长线于点
,连接
.设
,点
是直线
上的动点,当
的值最小时,点
与点
是否可能重合?若可能,请说明理由并求此时
的值(用含
的式子表示);若不可能,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC,BA:CA=2:3,AD与BE相交于点O,若△OAE的面积比△BOD的面积大1,则△ABC的面积是( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为( )
A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17
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【题目】如图a,网格中的每一个正方形的边长为1,△ABC为格点三角形,直线MN为格点直线(点A、B、C、M、N在小正方形的顶点上).
(1)仅用直尺在图a中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′.
(2)如图b,仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分,并将其中的一份用铅笔涂成阴影.
(3)如图c,仅用直尺作三角形ABC的边AC上的高,简单说明你的理由.
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【题目】某商场为了吸引顾客,设置了两种促销方式.一种方式是:让顾客通过转转盘获得购物券.规定顾客每购买100元的商品,就能获得一次转转盘的机会,如果转盘停止后,指针正好对准100元、50元、20元的相应区域,那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券,凭购物券可以在该商场继续购物;如果指针对准其他区域,那么就不能获得购物券.另一种方式是:不转转盘,顾客每购买100元的商品,可直接获得10元购物券.据统计,一天中共有1 000人次选择了转转盘的方式,其中指针落在100元、50元、20元的次数分别为50次、100次、200次.
(1)指针落在不获奖区域的概率约是多少?
(2)通过计算说明选择哪种方式更合算?
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