Question

如图，已知抛物线y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若坐标平面内的点M，使得以点M和三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程）

Answer 1

分析：（1）分别令x=0，y=0从而求得点A，B，C的坐标；
（2）利用（1）的结论即可求得AB，AC，BC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形；
（3）CD∥AB可得两个点，AC∥BD也可得到一个．

解答：（1）解：令x=0，得y=

3

，得点C（0，

3

）；
令y=0，得-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）证明：因为AC²=1²+（

3

）²=4，BC²=3²+（

3

）²=12，AB²=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）解：①如图：当CM∥AB时，
∵CM=AB=4，
∴M₁（4，

3

）；
②当AM∥BC时，
∵CM=AB=4，
∴M₂（-4，

3

）；
当AM∥BC时，
∵直线AC为：y=

3

x+

3

，直线BC为：y=-

3

3

x+

3

，
∴直线BM为：y=

3

x-3

3

，直线AM为：y=-

3

3

x-

3

3

，
∴M₃（2，-

3

）．
∴M₁（4，

3

），M₂（-4，

3

），M₃（2，-

3

）．（只写出一个给（1分），写出2个，得1.5分）

点评：此题综合考查了二次函数与一元二次方程的关系，直角三角形的判定，平行四边形的判定等知识点．