Question

在平面直角坐标系中，已知A（2，2），AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．
（1）如图1，E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求DG+

1

2

EF的值；
（2）如图2，D为x轴上一点，AC=CD，E为线段OB上一动点，连接DA、CE、F是线段CE的中点，若BF⊥FK交AD于K，请问∠KBF的大小是否变化？若不变，求其值；若改变，求其变化范围．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：

分析：（1）作DM⊥OB于M，作DH⊥OF于H．由A的坐标可以得出四边形ABOC是正方形，由正方形的性质就可以得出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，设BE=CF=t，由三角形的内心就可以表示出EF，就可以得出结论；
（2）延长BF交AC于G，连接KG，作KM⊥AB于M，KN⊥AC于N，可以证明△BEF≌△GCF，就有BF=CF，进而证明△BFK≌△GFK，就可以得出BK=GK，再由条件证明△BKM≌△GKN得出△BKG是等腰直角三角形就可以得出结论．

解答：解：（1）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，
∴∠ABO=∠ACO=90°．
∵∠BOC=90°，
∴四边形ABOC是正方形，
∴AB=AC=BO=CO=2，OA平分∠BOC，∠BAC=90°．
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，BE=CF．
设BE=CF=t，OE=2-t，OF=2+t．
∵ED平分∠OEF，
∴点D是△OEF的内心．
如图1，作DM⊥OB于M，作DH⊥OF于H，且DG⊥EF于G，
∴DG=DM=DH，
∴四边形MOHD是正方形，
∴MO=HO=DM=DG．
设DG=MO=x，
∴x=

EO+FO-EF

2

，
∴x=

2-t+2+t-EF

2

，
∴EF=4-2x，
∴

1

2

WF=2-x．
∴DG+

1

2

EF=x+2-x=2．
即DG+

1

2

EF的值为2；

（2）∠KBF的大小不变，∠KBF=45°
如图2，延长BF交AC于G，连接KG，作KM⊥AB于M，KN⊥AC于N，
∵四边形ABOC是正方形，
∴OB∥AC．
∴∠EBF=∠CGF，∠BEF=∠GCF．
∵F是CE的中点，
∴EF=CF．
在△BEF和△GCF中，

∠EBF=∠CGF ∠BEF=∠GCF EF=CF

，
∴△BEF≌△GCF（AAS），
∴BF=GF．
∵BF⊥FK，
∴∠BFK=∠GFK=90°．
在△BFK和△GFK中，

BF=GF ∠BFK=∠GFK KF=KF

，
∴△BFK≌△GFK（SAS）
∴BK=GK．
∵AC=CD，∠ACD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°．
∵KN⊥AC，
∴∠ANK=90°，
∴∠AKN=45°，
∴AN=KN．
∵KM⊥AB，
∴四边形AMKN是正方形，
∴KM=KN．∠M=∠GNK=90°AM∥KN．
在Rt△BKM和Rt△GKN中，

BK=KG KM=KN

，
∴Rt△BKM≌Rt△GKN（HL），
∴∠MBK=∠NGK．∠GKN=∠BKM．
∵AM∥KN，
∴∠BKN=∠MBK．
∵∠BKM+∠BKN=90°，
∴∠GKN+∠BKN=90°，
即∠BKG=90°．
∵BK=GK，
∴△BKG是等腰直角三角形．
∴∠KBF=45°，
∴∠KBF的大小不变，∠KBF=45°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，正方形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．