Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE=

5

2

，AB=

5

2

，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；
（2）设AE=x．根据圆周角定理的推论和勾股定理进行求解．

解答：证明：（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴DC=DB．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴OD⊥BE．

解：（2）设AE=x，
∵OD⊥BE，
∴可得OD是BE的中垂线，
∴DE=DB，
∴∠1=∠2，
∴BD=ED=

5

2

，
∵OD⊥EB，
∴FE=FB．
∴OF=

1

2

AE=

1

2

x，DF=OD-OF=

5

4

-

1

2

x．
在Rt△DFB中，BF2=DB2-DF2=(

5

2

)2-(

5

4

-

1

2

x)2；
在Rt△OFB中，BF2=OB2-OF2=(

5

4

)2-(

1

2

x)2；
∴(

5

2

)2-(

5

4

-

1

2

x)2=(

5

4

)2-(

1

2

x)2．
解得x=

3

2

，即AE=

3

2

．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推理、勾股定理以及等腰三角形的性质．