Question

如图，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，连结BC，过D作PF∥AC交AB于E，交⊙O于F，交BC于点G，且∠BPF＝∠ADC．

（1）判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为，AC＝2，BE＝1，求BP的长．

Answer 1

（1）相切；（2）2

解析试题分析：（1）先根据圆周角定理可得∠ACB＝90即AC⊥BC，根据平行线的性质可得∠CAB＝∠PEB，由∠ADC＝∠ABC，∠BPF＝∠ADC可得∠ABC＝∠BPF，即可证得△ABC∽△EPB，根据相似三角形的性质结合切线的判定方法即可证得结果；
（2）在Rt△ABC中根据勾股定理可得BC＝4，再根据相似三角形的性质即可求得结果.
（1）∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90即AC⊥BC．
∵PF∥AC，
∴∠CAB＝∠PEB．
∵∠ADC＝∠ABC，∠BPF＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠BPF．
∴△ABC∽△EPB    
∴∠PBE＝∠ACB＝90°，
∴PB⊥OB． 
∴BP与⊙O相切． 
（2）∵Rt△ABC中，AC＝2，AB＝2，
∴BC＝4． 
∵△ABC∽△EPB，
∴＝．
∴＝，
∴BP＝2．
考点：圆周角定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理
点评：解题的关键是熟记相似三角形的对应角相等，对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.