[题目]在△ABC中.CA＝CB.∠ACB＝α．点P 是平面内不与点A.C 重合的任意一点.连接AP.将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP.连接AD.BD.CP．(1)猜想观察:如图1.当α＝60°时.的值是 .直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．(2)类比探究:如图2.当α＝90°时.请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P 是平面内不与点A，C 重合的任意一点，连接AP，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．

（1）猜想观察：如图1，当α＝60°时，的值是________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．

（2）类比探究：如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题：如图3，当α＝90°时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在FE的延长线上，P，D，C三点在同一直线上，AC与BD相交于点M，DM＝2－，求AP的长．

【答案】（1）1，60°；（2），45°，见解析；（3）1

【解析】

（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题；

（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．

（3）首先证明AD＝DC，再设AP＝x得PD＝x，在Rt△PAD中，由勾股定理得，AD＝，BD＝ (2＋)x．，证明△ADM∽△BDA，得AD2＝DM·BD，列方程求解即可．

（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．

∵∠PAD=∠CAB=60°，

∴∠CAP=∠BAD，

∵CA=BA，PA=DA，

∴△CAP≌△BAD（SAS），

∴PC=BD，∠ACP=∠ABD，

∵∠AOC=∠BOE，

∴∠BEO=∠CAO=60°，

∴，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，

故答案为1，60°．

(2)如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．

∵∠PAD=∠CAB=45°，

∴∠PAC=∠DAB，

∵∠APD=∠ACB=90°，AP=PD，CA=CB

∴，

∴△DAB∽△PAC，

∴∠PCA=∠DBA，，

∵∠BOC＝∠BEC＋∠PCA＝∠ABD＋∠BAC，∠PCA＝∠DBA，

∴∠BEC＝∠BAC＝45°，即直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．

(3)∵点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，

∴EF∥AB，AE＝EC，

∴∠PEA＝∠BAC＝45°．

∵P，D，C三点在同一直线上，∠APD＝90°，

∴∠APC＝90°，PE＝AE＝EC，

∴∠EPC＝∠ECP

∵∠EPC＋∠ECP＝∠PEA＝45°，∠DAC＋∠ECP＝∠PDA＝45°，

∴∠EPC＝∠ECP＝∠DAC，

∴AD＝DC．

设AP＝x，则PD＝x，

在Rt△PAD中，由勾股定理得，AD＝，

∴PC＝PD＋CD＝(＋1)x．由(2)知，

∴BD＝PC＝(2＋)x．

∵∠ECP＝∠DAC，∠PCA＝∠DBA，

∴∠DAC＝∠DBA，

又∵∠ADM＝∠BDA，

∴△ADM∽△BDA，

∴，即AD2＝DM·BD，

∴(x)2＝(2－)(2＋)x．解得x1＝1，x2＝0(不合题意，舍去)，

∴AP＝1．

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