如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的一个动点(点P与点0,A不重合).连结CP,过点P作PD交AB于点D.
(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且=,求这时点P的坐标.
(1)作BQ⊥x轴于Q. ∵ 四边形ABCD是等腰梯形,∴∠BAQ=∠COA=60°. 在RtΔBQA中,BA=4,∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=, AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,∴OQ=OA-AQ=7-2=5. ∵点B在第一象限内,∴点B的的坐标为(5,). 2分 (2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°, 此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形. 若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上, ∴点P的坐标为(4,0). 6分 若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4, ∴点P的坐标为(-4,0). ∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0). 6分 (3)∵∠CPA=∠OCP+∠COP,而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA.又∵∠CPD=∠OAB,∴ΔOCP∽ΔADP. 7分 ∴,∵,∴, AD=AB-BD=4-=,AP=OA-OP=7-OP∴ 得OP=1或6,∴点P坐标为(1,0)或(6,0). 10分 |
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9 | x |
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