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如图,正方形ABCD中,P为对角线BD上一点(P点不与B、D重合),PE⊥BC于E,PF⊥DC于F,连接EF,猜想AP与EF的关系并证明你的结论.
AP⊥EF,AP=EF

试题分析:
解:AP⊥EF,AP=EF
方法1:延长FP交AB于M
延长AP交EF于N
可证四边形MFCB为矩形
得MF=BC
四边形ABCD为正方形
得AB=BC
∴MF=AB
可证PM=BM
∴AM=PF
可证△AMP≌△FPE得AP=EF
得∠PFE=∠MAP
∵∠FPN=∠MPA
∴∠PNF=∠AMP=90°
∴AP⊥EF
方法2:连接PC交EF于O
证四边形PFCE为矩形
得PC=EF
证△APD≌△CPD
得PC=AP
∴EF=AP
∵四边形PFCE为矩形
可证OF=OC
得∠OFC=∠OCF
∵∠PFC=90°
∴∠PFO+∠OFC=90°
∴∠PFO+∠OCF=90°
∵△APD≌△CPD
∴∠DAP=∠DCP
∴∠PFO+∠DAP=90°
∵四边形DANF内角和为360°
即∠DAN+∠ADF+∠NFP+∠PFD+∠ANF=360°
可证∠ANF=90°
∴AP⊥EF于N

点评:此类试题,线与线的关系有相等和垂直,相等可通过证明全等三角形对应边求得,垂直可通过证明全等三角形对应角相等,再进行等量代换。
练习册系列答案
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(1)请你完成这道思考题;
(2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如:
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题?
②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?
③若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,是否仍能得到∠BQM=60°?对②,③进行证明。(自己画出对应的图形)

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其中正确的结论的序号是_________________(把所有正确结论的序号都填在横线上).

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                            (写一个即可)。

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