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【题目】阅读资料:我们把顶点在圆上,并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角,如下左图∠ABC所示。

同学们研究发现:P为圆上任意一点,当弦AC经过圆心O时,且AB切⊙O于点A,此时弦切角∠CAB=∠P(图甲)

证明:∵AB切⊙O于点A, ∴∠CAB=90°, 又∵AC是直径, ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P

问题拓展:若AC不经过圆心O(如图乙),该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗?

请说明理由。

知识运用:如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F。 求证:EF∥BC。

【答案】(1)成立;(2)证明见解析.

【解析】试题分析:问题拓展:首先连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD,由圆周角定理可得∠D=P,又由AD是直径,AB切圆于点A,易证得∠CAB=CAD,继而证得结论;

知识运用:连接DF,ADABC中∠BAC的平分线,⊙OBC切于点D,可得∠FDC=EAD,又由圆周角定理可得∠EAD=EFD,继而证得结论.

试题解析:问题拓展:成立.

如图3,连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD,

则∠D=P,

AD是直径,

∴∠D+CAD=90°

又∵AB切圆于点A,

∴∠CAB+CAD=90°

∴∠CAB=CAD,

而∠CAD=P,

∴∠CAB=P;

知识运用:如图4,连接DF,

ADABC中∠BAC的平分线,

∴∠EAD=DAC,

∵⊙OBC切于点D,

∴∠FDC=DAC,

∴∠FDC=EAD,

∵在⊙O中∠EAD=EFD,

∴∠FDC=EFD,

EFBC.

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.

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