【题目】阅读资料:我们把顶点在圆上,并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角,如下左图∠ABC所示。
同学们研究发现:P为圆上任意一点,当弦AC经过圆心O时,且AB切⊙O于点A,此时弦切角∠CAB=∠P(图甲)
证明:∵AB切⊙O于点A, ∴∠CAB=90°, 又∵AC是直径, ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P
问题拓展:若AC不经过圆心O(如图乙),该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗?
请说明理由。
知识运用:如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F。 求证:EF∥BC。
【答案】(1)成立;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:问题拓展:首先连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD,由圆周角定理可得∠D=∠P,又由AD是直径,AB切圆于点A,易证得∠CAB=∠CAD,继而证得结论;
知识运用:连接DF,AD是△ABC中∠BAC的平分线,⊙O与BC切于点D,可得∠FDC=∠EAD,又由圆周角定理可得∠EAD=∠EFD,继而证得结论.
试题解析:问题拓展:成立.
如图3,连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD,
则∠D=∠P,
∵AD是直径,
∴∠D+∠CAD=90°,
又∵AB切圆于点A,
∴∠CAB+∠CAD=90°,
∴∠CAB=∠CAD,
而∠CAD=∠P,
∴∠CAB=∠P;
知识运用:如图4,连接DF,
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠DAC,
∵⊙O与BC切于点D,
∴∠FDC=∠DAC,
∴∠FDC=∠EAD,
∵在⊙O中∠EAD=∠EFD,
∴∠FDC=∠EFD,
∴EF∥BC.
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【题目】学校实施新课程改革以来,学生的学习能力有了很大提高.王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状,对该班部分学生进行调查,把调查结果分成四类(A:特别好,B:好,C:一般,D:较差)后,再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图(如图1,2).请根据统计图解答下列问题:
(1)本次调查中,王老师一共调查了 名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)为了共同进步,王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习,请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率.
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【题目】仿照例题完成任务:
例:如图1,在网格中,小正方形的边长均为,点,,,都在格点上,与相交于点,求的值.
解析:连接,,导出,再根据勾股定理求得三角形各边长,然后利用三角函数解决问题.具体解法如下:
连接,,则,
,根据勾股定理可得:
,,,
,
是直角三角形,,
即.
任务:
(1)如图2,,,,四点均在边长为的正方形网格的格点上,线段,相交于点,求图中的正切值;
(2)如图3,,,均在边长为的正方形网格的格点上,请你直接写出的值.
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【题目】如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
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【题目】在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,…,如此作下去,则△B2018A2019B2019的顶点A2019的坐标是_____.
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【题目】如图,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点E、F,E(,6),且E为BC的中点,D为x轴负半轴上的点.
(1)求反比倒函数的表达式和点F的坐标;
(2)若D(﹣,0),连接DE、DF、EF,则△DEF的面积是 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点,动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点运动到点停止,设运动时间为,过点作轴的垂线,交直线于点, 交抛物线于点.连接,是线段的中点,将线段绕点逆时针旋转得线段.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接,当为何值时,面积有最大值,最大值是多少?
(3)当为何值时,点落在抛物线上.
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