Question

如图，在直角坐标系中，ON为过原点的一条直线，点E、F为x、y轴上的任意两点，P为直线ON上一动点（不与原点O重合），PM⊥x轴于M点．
（1）若P（a，a）为直线ON上在第一象限内的任意一点，求直线ON的解析式；
（2）连接PE、PF，若∠PFO+∠PEO=180°，在（1）的条件下，试问线段PE与PF之间是否存在一定的数量关系，并说明理由；
（3）当P在直线ON上的第一象限内任意运动时，在（1）和（2）的条件下，

OE+OF

OM

是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系数法求直线ON的解析式．
（2）过P点作y轴的垂线交y轴于G点，可证△PGF≌△PME，得到PE=PF．
（3）由（2）得OF=OG-GD=OM-ME，OE=OM+ME，则

OE+OF

OM

=2．

解答：解：（1）设直线ON的解析式为y=kx，P（a，a）代入得k=1，所以直线ON的解析式为y=x．

（2）PE=PF．理由如下：
如图，过P点作y轴的垂线交y轴于G点，则PG=PM，
又∵∠PFO+∠PEO=180，∴∠PFG=∠PEM，
∴直角△PGF≌直角△PME，所以PE=PF．

（3）

OE+OF

OM

为定值2．
理由如下：由直角△PGF≌直角△PME，得OM=OG，ME=GF，
所以OE+OF=OM+ME+OG-GF=OM+ME+OM-ME=2OM，
所以

OE+OF

OM

=2．

点评：熟练掌握用待定系数法求直线的解析式；掌握过角平分线上点向两边引垂线，得到垂线段相等；对证明三角形全等要熟练．