Question

如图，平行四边形ABCD中，E为BC中点，AD=2AB，连结AE、DE，F、H分别为AE、DE的中点．
（1）求证：CF与EH互相平分；
（2）若AB=25，DE=40，求CF的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，连接FH．利用三角形中位线定理可以判定FH∥AD，且FH=

1

2

AD；由平行四边形对边平行且相等的性质和已知条件推知：FH=CE，FH∥EC．则四边形EFHC是平行四边形，从而得证；
（2）作DP⊥EC于P，HG⊥BC于G，FN⊥BC于N，根据勾股定理求得CP，进而求得PD，然后根据三角形的中位线定理求得GH、EG，从而求得FN、GC，因为FN=HG，NE=GC，从而求得NC、FN，最后根据勾股定理即可求得；

解答：（1）证明：如图，连接FH．
∵F、H分别为AE、DE的中点，
∴FH是△AED的中位线，
∴FH∥AD，且AD=2FH，
又∵平行四边形ABCD中，E为BC中点，
∴AD=BC=EC，AD∥EC，
∴FH∥EC，且FH=EC，
∴四边形EFHC是平行四边形，
∴CF与EH互相平分；

（2）解：如图，作DP⊥EC于P，HG⊥BC于G，FN⊥BC于N，
∵DP⊥BC，
∴ED²-EP²=DC²-CP²，
∵ED=40，CD=EC=25，
∴40²-（25+CP）²=25²-CP²，解得：CP=7，
∴DP=

DC2-CP2

=24，EP=EC+CP=25+7=32，
∵HG⊥BC，DP⊥BC，
∴HG∥DP，
∵EH=HD，
∴EG=

1

2

EP=16，HG=

1

2

DP=12，
∵FN=HG=12，EN=CG=EC-EG=25-16=9，
∴NC=EC+EN=25+9=34，
在RT△FNC中，FC=

FN2+NC2

=

122+342

=10

13

，
所以CF=10

13

；

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理的应用等，（2）作出直角三角形是关键．