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如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k>0)

(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A      ,k=      

(2)随着三角板的滑动,当a=时:

①请你验证:抛物线的顶点在函数的图象上;

②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;

(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

 

【答案】

解:(1)∵点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,∴点A的坐标是(t,4)。

∵直线OA:y2=kx(k为常数,k>0),∴4=kt,则(k>0)。

(2)①当a=时,,其顶点坐标为

对于,当x=时,

∴点在抛物线上。

∴当a=时,抛物线的顶点在函数的图象上。

②如图1,过点E作EK⊥x轴于点K,

∵AC⊥x轴,∴AC∥EK。

∵点E是线段AB的中点,∴K为BC的中点。

∴EK是△ACB的中位线。

∴EK=AC=2,CK=BC=2。∴E(t+2,2)。

∵点E在抛物线上,

,解得t=2。

∴当三角板滑至点E为AB的中点时,t=2。

(3)如图2,由

 解得,或x=0(不合题意,舍去)。

∴点D的横坐标是

时,|y2﹣y1|=0,由题意得,即

∴当时,取得最大值。

又当时,取得最小值0,

∴当时,的值随x的增大而减小,当时,的值随x的增大而增大。

由题意,得,将代入得,解得

综上所述,a与t的关系式为,t的取值范围为

【解析】

试题分析:(1)根据题意易得点A的横坐标与点C的相同,点A的纵坐标即是线段AC的长度;把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值:

(2)①求得抛物线y1的顶点坐标,然后把该坐标代入函数,若该点满足函数解析式,即表示该顶点在函数图象上;反之,该顶点不在函数图象上。

②如图1,过点E作EK⊥x轴于点K.则EK是△ACB的中位线,所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标,把点E的坐标代入抛物线即可求得t=2。

(3)如图2,根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是,则,由此可以求得a与t的关系式。由求得取得最大值时的x值,同时由时,取得最小值0,得出当时,的值随x的增大而减小,当时,的值随x的增大而增大。从而由题意,得,结合,求出t的取值范围。

 

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科目:初中数学 来源:2013年湖北省宜昌市高级中等学校招生考试数学 题型:044

如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线y1=ax(x-t)(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k>0)

(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A________,k=________;

(2)随着三角板的滑动,当a=时:

①请你验证:抛物线y1=ax(x-t)的顶点在函数y=-x2的图象上;

②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;

(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2-y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2-y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线y1=ax(x-t)(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k>0)

(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A______,k=______;
(2)随着三角板的滑动,当a=数学公式时:
①请你验证:抛物线y1=ax(x-t)的顶点在函数y=数学公式的图象上;
②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;
(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2-y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2-y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

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科目:初中数学 来源: 题型:

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(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A (t,4) ,k= (k>0) 

(2)随着三角板的滑动,当a=时:

①请你验证:抛物线y1=ax(x﹣t)的顶点在函数y=的图象上;

②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;

(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

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(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A______,k=______;
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