Question

15．如图a，在平面坐标系中，直线y=-$\frac{4}{3}$x+6交坐标轴于A、B两点，I为△AOB的内心，IM⊥x轴，IN⊥y轴，连AI，与MN的延长线交于E点，连BE并延长，交x轴于F点．

（1）求I点坐标；
（2）求证：BF⊥AE；
（3）如图b，P为BF上一点，PH⊥AF于H，PQ⊥AB于Q，PH+PQ是否为定值？若是，求其值．

Answer 1

分析 （1）根据直线与x，y轴交点得出OB和OA的长度，再利用直角三角形内心知识求出I点的坐标；
（2）作EH⊥FM于H，先求出E的坐标，再求出直线BF和AE的解析式，由系数k的积为-1，得出BF⊥AE；
（3）先证出AF=AB，再根据锐角三角函数即可得出结果．

解答 解：（1）作IG⊥AB于G，如图所示：
对于直线y=-$\frac{4}{3}$x+6，当x=0时，y=6；当y=0时，x=4.5，
∴点A的坐标为（4.5，0），点B的坐标为（0，6），
∵I为△AOB的内心，IM⊥x轴，IN⊥y轴，
∴IM=IN，AM=AG，BN=BG，四边形OMIN是正方形，
∵OA=4.5，OB=6，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+4．{5}^{2}}=7.5$，
∴设点I坐标为（x，x），则BN=BG=6-x，AM=AG=4.5-x，
∴AB=（6-x）+（4.5-x）=7.5，
解得：x=1.5，
∴点I的坐标为（1.5，1.5）；

（2）作EH⊥FM于H，如图所示：
∵四边形OMIN是正方形，
∴OM=ON=IN=1.5，
∵AM=4.5-1.5=3，IN∥AM，
∴N为EM的中点，
∴EH=2ON=3，
∵∠NMO=45°，
∴HM=EH=3，
∴OH=1.5，
∴E（-1.5，3），
设直线BF的解析式为：y=kx+b，
把B（0，6），E（-1.5，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-\frac{3}{2}k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=6，
∴直线BF的解析式为：y=2x+6；
设直线AE的解析式为：y=ax+c，
把点A（4.5，0），I（1.5，1.5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4.5k+b=0}\\{1.5k+b=1.5}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{9}{4}$，
∴直线AE为：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{4}$；
∵2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∴BF⊥AE；

（3）PH+PQ为定值，PH+PQ=OB=6；
对于直线BF：y=2x+6，当y=0时，x=-3，
∴OF=3，
∴BF=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，AF=OF+OA=7.5，
∴AB=AF，
∴∠AFB=∠ABF，
∵sin∠OFB=$\frac{PH}{PF}=\frac{OB}{BF}=\frac{6}{3\sqrt{5}}$，
∴PH=$\frac{2PF}{\sqrt{5}}$，
同理得：PQ=$\frac{2PB}{\sqrt{5}}$，
∴PH+PQ=$\frac{2BF}{\sqrt{5}}$=$\frac{2×3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=6．

点评 本题是一次函数综合题，考查了直角三角形的内心、勾股定理、正方形的性质、一次函数解析式的求法、两条直线垂直的条件、锐角三角函数的运用等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要通过求出直线解析式才能得出结论．