Question

操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可得BC=DE，进而得到∠BDC=∠BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，进而算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；
（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，进而得到BC=8，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长．
解答：解；（1）由图①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD，
∵∠DEF=30°，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DOC=30°+45°=75°，
∴∠DOC=∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形；

（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，
在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=4，HF=4，
在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=8，BF=16，
∴BC=BD=8，
∵AG⊥BC，∠ABC=45°，
∴BG=AG=4，
∴AG=DH，
∵AG∥DH，
∴四边形AGHD为矩形，
∴AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4．
点评：此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．