Question

13．如图，在平面直角坐标系中，?OABC的边OA在x轴上，∠COA=30°，OC=8，AC⊥OA，对角线OB与AC相交于点M．反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将?OABC向右平移，使它的对角线交点M在反比例函数的图象上，求平移的距离．

Answer 1

分析 （1）先解Rt△OAC，得出CA=4，OA=4$\sqrt{3}$，那么C（4$\sqrt{3}$，4），再将C点坐标代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）先根据平行四边形的对角线互相平分得出AM=$\frac{1}{2}$AC=2．设平移的距离为d，根据平移的性质求出平移后的点M的坐标为（4$\sqrt{3}$+d，2），再根据此时点M在反比例函数的图象上得出（4$\sqrt{3}$+d）×2=16$\sqrt{3}$，解方程即可．

解答 解：（1）在Rt△OAC中，∠COA=30°，OC=8，
∴CA=4，OA=4$\sqrt{3}$，
∴C（4$\sqrt{3}$，4），
∴k=4$\sqrt{3}$×4=16$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{16\sqrt{3}}{x}$（x＞0）；

（2）∵点M是?OABC两对角线的交点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=2．
设平移的距离为d，则平移后的点M的坐标为（4$\sqrt{3}$+d，2），
∴（4$\sqrt{3}$+d）×2=16$\sqrt{3}$，
解得d=4$\sqrt{3}$．
故平移的距离为4$\sqrt{3}$个单位长度．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出解析式是解题的关键．