Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120度．∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．以下四个结论：①cos∠BFE=

1

2

；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号数是______．

Answer 1

∵∠A所对弧的度数为120°
∴∠A=60°
∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分线分别是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF=

1

2

（∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE=

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2

，
∴即cos∠BFE=

1

2

；故①正确；
∵∠BDC=∠A+

1

2

∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA
若BC=BD成立，则应有∠BDC=∠BCA
应有60°+∠DBA=120°-2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此时∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根据题意，没有条件可以说明∠ABC是40°，
故②错误；
∵点F是△ABC内心，作FW⊥AC，FS⊥AB
则FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正确；
由于点F是内心而不是各边中线的交点，故BF=2DF不一定成立，因此④不正确．
因此本题正确的结论为①③．
故答案为：①③．