Question

已知：如图，圆O₁与圆O₂外切于点P，经过圆O₁上一点A作圆O₁的切线交圆O₂于B、C两点，直线AP交圆O₂于点D，连接DC、PC．
（1）求证：DC²=DP•DA；
（2）若圆O₁与圆O₂的半径之比为1：2，连接BD，BD=4，PD=12，求AB的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）相切两圆常作的辅助线是：两圆的公切线，因此过点P作两圆的内公切线EP交AB于点F，然后证得△CDP∽△ADC，可证DC²=DP•DA；
（2）求AB的长时，由（1）知△CDP∽△ADC，可得．还可得出DP=2PA，DC=BD．再根据切割线定理得：AP•AD=AB•AC，由此可求出AB的长．
解答：（1）证明：过点P作两圆的内公切线EP交AB于点F，
∵FE、CA都与圆O₁相切，
∴FP=FA，
∴∠FAP=∠FPA；
∵∠FPA=∠EPD=∠DCP，
∴∠FAP=∠DCP；
∵∠PDC=∠CDA，
∴△CDP∽△ADC；
∴；
∴DC²=DP•DA．

（2）解：连接O₁O₂，则点P在O₁O₂上，连接O₁A、O₂D，
∵O₁A=O₁P，
∴∠O₁AP=∠O₁PA；
又∵O₂P=O₂D，
∴∠O₂DP=∠O₂PD，
∴∠O₁AP=∠O₂DP；
∴O₁A∥O₂D，
∴=；
∴DP=2PA，
∵DP=12
∴PA=6，
由（1）中△CDP∽△ADC，得∠DCB=∠APC，；
∵∠APC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC；
∴DC=BD=4；
∵DP=12，AP=4，
∴AD=AP+DP=16；
∴，
∴AC=48．
由AP•AD=AB•AC，得4×12=48AB，
∴AB=．
点评：此题综合性强，将圆的有关知识与三角形相似结合考查，有一定难度；命题立意：此题主要考查相切两圆的位置关系及切线长定理，三角形相似的判定等知识．