【题目】已知AB是⊙O的直径,C是圆周上的动点,P是优弧中点.
(1)求证:OP∥BC.
(2)连接PC交直径AB于点D,当OC=DC时,求∠A的度数.
【答案】
(1)证明:连接AC,延长PO交AC于H,如图1,
∵P是优弧的中点,
∴PH⊥AC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC⊥AC,
∴OP∥BC.
(2)解:连接AC,延长PO交AC于H,如图2,
∵P是优弧的中点,
∴PA=PC,
∴∠PAC=∠PCA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠PAO=PCO,
当CO=CD时,设∠DCO=x,
则∠OPC=x,∠PAO=x,
∴∠PDO=2x,
∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x,
∵CD=CO,
∴∠DOC=∠ODC=3x.
在△POC中,x+x+5x=180°,
∴x=,
即∠PAO=,
∴∠A的度数为
【解析】(1)连接AC,延长PO交AC于H,由垂径定理推论得PH⊥AC,再由圆周角定理得BC⊥AC,根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可得证.
(2)连接AC,延长PO交AC于H,如图2,由垂径定理推论得PA=PC, 根据等腰三角形的性质得∠PAC=∠PCA,∠OAC=∠OCA,等量代换得
∠PAO=PCO;当CO=CD时,设∠DCO=x,则∠OPC=x,∠PAO=x,由三角形的外角和性质得 ∠ODC=3x,在△POC中,再根据三角形的内角和定理得出
x+x+5x=180°,从而求出∠A的度数 .
【考点精析】本题主要考查了三角形的内角和外角和三角形的外角的相关知识点,需要掌握三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫三角形的外角;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能正确解答此题.
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【题目】如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“美丽三角形”,
(1)如图△ABC中,AB=AC=,BC=2,求证:△ABC是“美丽三角形”;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,若△ABC是“美丽三角形”,求BC的长.
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【题目】下列事件中,是随机事件的是( )
A.任意选择某一电视频道,它正在播放新闻联播
B.三角形任意两边之和大于第三边
C. 是实数,
D.在一个装着白球和黑球的袋中摸球,摸出红球
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c,当x取1时,函数有最大值为3,且函数的图象经过点(-2,0)。
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出函数值y大于零时x的取值范围
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【题目】株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系(如图1),小明暑假旅游时,来到五桥观光,发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱,他回家上网查到了拱梁是抛物线,其跨度为20米,拱高(中柱)10米,于是他建立如图2的坐标系,发现可以将余下的8根支柱的高度都算出来了,请你求出中柱左边第二根支柱CD的高度.
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【题目】方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,﹣1).
(1)试作出△ABC以C为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C;
(2)以原点O为对称中心,再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.
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【题目】如图,△ABC 是等腰直角三角形,分别以直角边 AC,BC 为直径画弧,若 AB=2 ,则图中阴影部分的面积是( )
A. ﹣
B. ﹣
C. ﹣
D. +
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【题目】如图,将一个长为4a,宽为2b的长方形,沿图中虚线均匀分成4个长方形,然后按图2形状拼成一个正方形.
(1)图2的空白部分的边长是多少?(用含a,b的式子表示).
(2)观察图2,用等式表示出和
的数量关系.
(3)若2a+b=6,且ab=2,求图2的空白正方形的面积.
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【题目】某高校学生会向全校2900名学生发起了“爱心一日捐”捐款活动,为了解捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为 , 图①中m的值是;
(Ⅱ)求本次你调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.
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