Question

18．如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）都在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，tan∠ACB=2，二次函数的图象经过A、B、C三点．
（1）求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，若以A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，由A的坐标可求出k的值，作AM⊥BC，垂足为M，交y轴于N，利用已知条件求出点B的坐标（6，2）再设二次函数的解析式为y=ax²+bx+2，把A和B的坐标代入求出a和b的值即可求出二次函数的解析式；
（2）当AC为边时，延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，利用已知条件可证明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性质可得：EH=AM=4，DH=CM=2，进而求出点E（3，4），所以OE=3，OD=OE-DH=1，利用勾股定理即可求出CD的长；当AC为对角线时，可设D（t，0），由A、C坐标可求得线段AC的中点，则可用t表示出E点坐标，代入反比例函数解析式可求得t的值，则可求得点D的坐标，利用勾股定理可求得CD的长．

解答 解：（1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∵点A（2，6）在反比例函数的图象上，
∴6=$\frac{k}{2}$，
∴k=12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$，
作AM⊥BC，垂足为M，交x轴于N，如图1，

∴CM=2．
在Rt△ACM中，AM=CM•tan∠ACB=2×2=4，
∵BC∥x轴，OC=MN=AN-AM=6-4=2，
∴点C的坐标（0，2）．
当x=2时，y=6，
∴点B的坐标（6，2）
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+2，
则$\left\{\begin{array}{l}{6=4a+2b+2}\\{2=36a+6b+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+2；
（2）分AC为边和AC为对角线两种情况．
①当AC为边时，延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，

∵在平行四边形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO=∠EDH，
∵BC∥x轴，
∴∠ACM=∠AGO，
∴∠ACM=∠EDH．
在△ACM和△EDH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠EHD}\\{∠MCA=∠HDE}\\{AC=DE}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△EDH（AAS），
∴EH=AM=4，DH=CM=2．
∵E点纵坐标为4，点E在反比例函数y=$\frac{12}{x}$图象上，
∴x=3，
∴点E（3，4），
∴OH=3，OD=OH-DH=1，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
②当AC为对角线时，设D（t，0），
∵A（2，6），C（0，2），
∴线段AC的中点为（1，4），
∵四边形AECD为平行四边形，
∴线段DE的中点也为（1，4），
∴E点坐标为（2-t，8），
∵点E在反比例函数图象上，
∴8（2-t）=12，t=$\frac{1}{2}$，
∴D（$\frac{1}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
综上可知CD的长为$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想．在（1）中求得B、C的坐标是解题的关键，在（2）中分两种情况分别求得D点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．