考点:二次函数综合题
专题:
分析:(1)过C作CE⊥AB于E,根据抛物线的对称性知AE=BE;由于四边形ABCD是菱形,易证得Rt△OAD≌Rt△EBC,则OA=AE=BE,可设菱形的边长为2m,则AE=BE=1m,在Rt△BCE中,根据勾股定理即可求出m的值,由此可确定A、B、C三点的坐标;
(2)根据(1)题求得的三点坐标,用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
解答:解:(1)由抛物线的对称性可知AE=BE.
∴△AOD≌△BEC.
∴OA=EB=EA.
设菱形的边长为2m,在Rt△AOD中,
m
2+(
)
2=(2m)
2,解得m=1.
∴DC=2,OA=1,OB=3.
∴A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2,
).
(2)解法一:设抛物线的解析式为y=a(x-2)
2+
,代入A的坐标(1,0),得a=-
.
∴抛物线的解析式为y=-
(x-2)
2+
.
解法二:设这个抛物线的解析式为y=ax
2+bx+c,由已知抛物线经过A(1,0),B(3,0),C(2,
)三点,
得
解这个方程组,得
∴抛物线的解析式为y=-
x
2+4
x-3
.
点评:此题考查了菱形的性质、全等三角形的性质、抛物线的对称性、勾股定理以及二次函数图象的平移,综合性较强,难度适中.