Question

（2011•南岗区二模）已知四边形ABCD中．AD=AB，AD∥BC，∠A=90°，M为边AD的中点，F为边BC上一点，连接MF，过射点作ME⊥MF，交边AB于点E
（1）如图1，当∠ADC=90°时，求证：4AE+2CF=CD；
（2）如图2，当∠ADC=135°时，线段AE、CF、CD的数量关系为

8AE+4FC=3

2

CD

（3）如图3．在（1）的条件下，连接EF、EC，EC与FM相交于点K，线段FM关于FE对称 的线段与AB相交于点N．若NE=

10

3

，FC=AE，求MK的长．

Answer 1

分析：（1）过点F作FN⊥AD，垂足为N，先证明四边形ABCD是正方形，再由两角对应相等的两三角形相似得出△AME∽△NFM，根据相似三角形的性质得出边的关系，从而得出结论；
（2）过点C作CD′⊥AD于D′，过点F作FN⊥AD于N，则四边形ABFN与四边形FND′C都是矩形，D′C=NF=AB=AD，ND′=FC．证明△CD′D是等腰直角三角形，得出CD′=DD′=

2

2

CD，AB=

2

2

CD，再证明△AME∽△NFM，得到MN=2AE，即MD+DD′-ND′=2AE，然后将MD=

2

4

CD，DD′=

2

2

CD，ND′=FC代入，即可得出8AE+4FC=3

2

CD；
（3）设AE=FC=a，则CD=4AE+2FC=6a，AM=DM=3a，AD=CD=6a，在Rt△AME中，由勾股定理求得EM=

10

a，则FM=2

10

a，在Rt△MEF中，根据正切函数的定义得到tan∠MFE=

EM

FM

=

1

2

=tan∠EFN．再过N作NP⊥EF于P，设NP=x，则PF=2x，证明△BEF是等腰直角三角形，得出∠BEF=45°，在△ENP中，求出NP=

5

3

2

=x=EP，由EF=EP+PF，得出a=1．在△EFM中由勾股定理求出FM=2

10

，延长CE、DA相交于点R，由两角对应相等的两三角形相似得出△AER∽△BEC，根据相似三角形的性质得出AR=

6

5

a，则RM=AR+AM=

21

5

a，然后证明△RMK∽△CFK，得出

MK

FK

=

RM

CF

=

21

5

，进而求出MK=

21

13

10

．

解答：（1）证明：过点F作FN⊥AD，垂足为N．
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=90°，
∵∠ADC=90°，AD=AB，
∴四边形CDAB是正方形，
∴NF=CD=AD．
∵M为边AD的中点，
∴AD=2AM=2MD，
∴NF=CD=2AM．
在△AME与△MFN中，
∵∠A=90°=∠MNF=∠EMF，
∴∠AME+∠NMF=90°=∠NMF+∠MFN，
∴∠AME=∠MFN，
∴△AME∽△NFM，
∴

AM

NF

=

AE

MN

=

1

2

，
∴MN=2AE，
∵MD=

1

2

AD=

1

2

CD=MN+DN=2AE+FC，
∴2MD=4AE+2CF，
∴4AE+2FC=CD；

（2）解：如图2，过点C作CD′⊥AD于D′，过点F作FN⊥AD于N，
则四边形ABFN与四边形FND′C都是矩形，
∴D′C=NF=AB=AD，ND′=FC．
∵∠ADC=135°，
∴∠D′DC=45°，
∵∠CD′D=90°，
∴△CD′D是等腰直角三角形，
∴CD′=DD′=

2

2

CD，
∴AB=

2

2

CD．
在△AME与△NFM中，
∵∠A=∠MNF=90°，∠AME=∠MFN=90°-∠NMF，
∴△AME∽△NFM，
∴

AM

NF

=

AE

MN

=

1

2

，
∴MN=2AE，
∴MD+DD′-ND′=2AE，
∵MD=

1

2

AD=

1

2

AB=

1

2

×

2

2

CD=

2

4

CD，DD′=

2

2

CD，ND′=FC，
∴

2

4

CD+

2

2

CD-FC=2AE，
∴8AE+4FC=3

2

CD；

（3）解：如图3，AE=FC=a，则CD=4AE+2FC=6a，
∴AM=DM=3a，AD=CD=6a，
在Rt△AME中，EM²=AM²+AE²，
∴EM=

10

a，
由（1）得FM=2EM=2

10

a．
在Rt△MEF中，tan∠MFE=

EM

FM

=

1

2

=tan∠EFN．
过N作NP⊥EF于P，设NP=x，则PF=2x，
∵BE=AB-AE=BC-FC=BF，∠B=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=45°，
在△ENP中，NE=

10

3

，
∴NP=

10

3

×

2

2

=

5

3

2

=x=EP，
∵EF=EP+PF=3x=5

2

=

2

BE=

2

×5a，
∴a=1，
∵EM²+FM²=EF²，
∴FM=2

10

，
延长CE、DA相交于点R，
在Rt△AER中，∵AR∥BC，
∴∠R=∠ECB，
∵∠AER=∠BEC，
∴△AER∽△BEC，
∴

AR

BC

=

AE

BE

=

a

5a

=

AR

6a

，
∴AR=

6

5

a，
∵RM=AR+AM=

21

5

a．
∵RM∥FC，
∴∠R=∠KCF，
∵∠RKM=∠CKF，
∴△RMK∽△CFK，
∴

MK

FK

=

RM

CF

=

21 5 a

a

=

21

5

，
∵MK+FK=FM=2

10

，
∴MK=

21

26

FM=

21

13

10

．

点评：本题考查了矩形、等腰直角三角形、正方形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，综合性较强，难度较大．准确地作出辅助线，运用数形结合思想是解题的关键．