【题目】已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．
（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．
【答案】（1）∠BPC=90°+
∠BAC，理由见解析；（2）∠BOC=2∠BAC
，理由见解析；（3）4∠BPC-∠BOC=360°，理由见解析；
【解析】
（1）根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理推导即可；
（2）根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理推导即可；
（3）结合（1）（2）的结论∠BPC=90°+∠BAC、∠BOC=2∠BAC，通过等量代换即可．
解：（1）∠BPC=90°+∠BAC
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=90°+∠BAC；
（2）∠BOC=2∠BAC
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）
=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC），
=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC；
（3）4∠BPC-∠BOC=360°，
∵点P为三角形三个内角平分线的交点，
∴∠BPC=90°+∠BAC
由∠BAC=2∠BPC-180°
点O为三角形三边垂直平分线的交点
∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=2（2∠BPC-180°）=4∠BPC-360°，
即4∠BPC-∠BOC=360°．
天天向上口算本系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程和方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，四边形ABCD中，F是CD上一点，E是BF上一点，连接AE、AC、DE．若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=70°，AE平分∠BAC，则下列结论中：①△ABE≌△ACD：②BE=EF；③∠BFD=110°；④AC垂直平分DE，正确的个数有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在如图所示的网格中有四条线段AB、CD、EF、GH（线段端点在格点上），
⑴选取其中三条线段，使得这三条线段能围成一个直角三角形．
答：选取的三条线段为 ．
⑵只变动其中两条线段的位置，在原图中画出一个满足上题的直角三角形（顶点仍在格点，并标上必要的字母）．
答：画出的直角三角形为△ ．
⑶所画直角三角形的面积为 ．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，D、B、C三点在同一条直线上，∠C=50°，∠FBC=80°．问：∠DBF的平分线BE与AC有怎样的位置关系？并说明理由．
解：BE与AC一定平行．
∵D、B、C三点在同一条直线上，
∴∠DBF+∠FBC=180°（ ）．
又∵∠FBC=80°（已知）．
∴∠DBF= ．
又∵BE平分∠DBF（已知）．
∴
（ ）．
又∵∠C=50°（已知），
∴∠ =∠ （ ），
∴ ∥ ．（ ）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，请将下面说明ΔABC≌ΔDEF的过程和理由补充完整。
解：∵BE=CF （ ）
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在ΔABC和ΔDEF中
AB= （ ）
=DF（ ）
BC=
∴ΔABC≌ΔDEF （ ）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知：关于x的二次函数
的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式；
(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形.若存在，请求出点P的坐标；
(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到 达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的分别用正、负数来表示．记录如下(单位：千克)：
与标准质量的差 | -3 | -2 | -1.5 | 0 | 1 | 2.5 |
筐数 | 1 | 4 | 2 | 3 | 2 | 8 |
（1）这些白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计为超过或不足多少千克？
（3）)若白菜每千克售价2.6元，则这20筐白菜可卖多少元？
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