Question

20．已知如图，在△ABC中，AB=AC=10$\sqrt{2}$cm，∠BAC=45°，BD⊥AC于D，点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，交BD于F，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5$\sqrt{2}$），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形PFDM是矩形？（注：结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形和平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形和平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

解答 解：（1）当PM∥BC时，四边形PQCM是平行四边形，
则$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
由题意得，AM=2t，AP=10$\sqrt{2}$-t，
则$\frac{2t}{10\sqrt{2}}$=$\frac{10\sqrt{2}-t}{10\sqrt{2}}$，
解得t=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$；
（2）∵AB=10$\sqrt{2}$，∠BAC=45°，BD⊥AC，
∴AD=BD=10，
当PM∥BD时，四边形PFDM是矩形，
则$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AM}{AD}$，
即$\frac{10\sqrt{2}-t}{10\sqrt{2}}$=$\frac{2t}{10}$，
解得t=$\frac{40-10\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和平行线分线段成比例定理并灵活应用是解题的关键．