Question

已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）求证：△CPB≌△AEB；
（2）求证：PB⊥BE；
（3）若PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．

Answer 1

分析：（1），（2）根据条件∠ABE=∠CBP，BE=BP，BC=AB，可证△CBP≌△ABE，所以∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，即PB⊥BE．
（3）连接PE，则BE=BP，∠PBE=90°，∠BPE=45°，设AP为k，利用题中的比例式和勾股定理可求得PE=2

2

k，AE=3k，所以cos∠PAE=

AP

AE

=

1

3

．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，（1分）
∵∠CBP=∠ABE，BP=BE，
∴△CBP≌△ABE．

（2）证明：∵∠CBP=∠ABE，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，
∴PB⊥BE．
（1）、（2）两小题可以一起证明．
证明：∵∠CBP=∠ABE，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABP（1分）
=∠CBP+∠ABP
=90°（2分）
∴PB⊥BE．（3分）
以B为旋转中心，把△CBP按顺时针方向旋转90°．（4分）
∵BC=AB，∠CBA=∠PBE=90°，BE=BP．（5分）
∴△CBP与△ABE重合，
∴△CBP≌△ABE．（6分）

（3）解：连接PE，
∵BE=BP，∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，（7分）
设AP为k，则BP=BE=2k，
∴PE²=8k²，（8分）
∴PE=2

2

k，
∵∠BPA=135°，∠BPE=45°，
∴∠APE=90°，（9分）
∴AE=3k，
在直角△APE中：cos∠PAE=

AP

AE

=

1

3

．（10分）

点评：主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定及性质的运用．解题的关键是利用全等的性质得到相等的角或线段，用同一个未知数表示所求的线段即可求得所求的线段的比例即三角函数值．