Question

7．（1）已知：x=$\sqrt{3}$+1，y=$\sqrt{3}$-1，求$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-{y}^{2}}$的值；
（2）如图，D是BC上一点，若AB=10，AD=8，AC=17，BD=6，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到x+y=2$\sqrt{3}$，x-y=2，于是得到结论；
（2）根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，即可得出答案．

解答 解：（1）∵x=$\sqrt{3}$+1，y=$\sqrt{3}$-1，
∴x+y=2$\sqrt{3}$，x-y=2，
∴$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{（x-y）^{2}}{（x+y）（x-y）}$=$\frac{x-y}{x+y}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）解：∵BD²+AD²=6²+8²=10²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=15，
∴BC=BD+CD=6+15=21，
答：BC的长是21．

点评 此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．