分析 (1)①根据两组对边平行得到四边形OFBQ,四边形EMBF是平行四边形,求出EM=BF=1,得到DM=2,通过△DMC∽△AEF,列比例式求得CD=1;②根据△EPO∽△EAF,列比例式即可求得y关于x的函数解析式;
(2)当a≤x≤$\frac{1}{2}$(a>0)时,9a≤y≤6b,y随x的增大而减小,于是得到4-2×$\frac{1}{2}$=9a,4-2a=6b,解得结果即可.
(3)①当0≤x≤1时,1≤4-2x≤3,得到$\frac{1}{2}$≤x≤1,②当1≤x≤2时,y=-4x2-10x-4的对称轴为x=$\frac{5}{4}$,ymax=$\frac{9}{4}$,当x=1时,y=2满足要求,当y=1,x=$\frac{5±\sqrt{5}}{4}$,而5+$\frac{\sqrt{5}}{4}$<2,得到1≤x≤$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$,于是得到结论.
解答 解:(1)①∵EF∥CB,PQ∥AB,
∴四边形OFBQ是平行四边形,
∴OQ=BF=1,
∵∠A=∠AED=90°,
∴DE∥AB,
∴四边形EMBF是平行四边形,
∴EM=BF=1,
∵DE=3,
∴DM=2,
∵∠D=∠A=90°,∠DMC=∠B=∠EFA,
∴△DMC∽△AEF,
∴$\frac{DM}{AF}=\frac{CD}{AE}$,
∵AF=AB-BF=4,
∴$\frac{2}{4}=\frac{CD}{2}$,
∴CD=1;
故答案为:2,1;
②∵AP=x,EP=2-x,
在RT△AEF中,tan∠AEF=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{4}{2}$=2,
∴PO=PE•tan∠AEF=2×(2-x)=-2x+4.
当0<x≤1时,
∵OQ=FB=1,
∴y=PO•OQ=(-2x+4)×1=-2x+4;
当1<x≤2时,
∵PQ=3,∴OQ=3-OP,
∵PO•OQ=y,
∴y=PO(3-PO)=(-2x+4)(3+2x-4)=-4x2+10x-4,
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4(0<x≤1)}\\{-4{x}^{2}+10x-4(1<x≤2)}\end{array}\right.$;
(2)当a≤x≤$\frac{1}{2}$(a>0)时,9a≤y≤6b,
∵y=-2x+4,
∴y随x的增大而减小,
∴4-2×$\frac{1}{2}$=9a,4-2a=6b,
解得:a=$\frac{1}{3}$,b=$\frac{5}{12}$;
(3)图象如图所示,
①当0<x≤1时,1≤4-2x≤3,
∴$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{1}{2}$≤x≤1,
②当1<x≤2时,y=-4x2+10x-4的对称轴为x=$\frac{5}{4}$,ymax=$\frac{9}{4}$,
当y=1,x=$\frac{5±\sqrt{5}}{4}$,而$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$<2,
∴1≤x≤$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$,
综上所述:当1≤y≤3时,x的取值范围为$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$.
点评 本题考查了平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解不等式组,求一次函数的解析式,根据三角形相似列比例式求一次函数的解析式是解题的关键.
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A. | $\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=1}\end{array}\right.$ | C. | $\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}\right.$ |
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A. | (3,-4) | B. | (-3,4) | C. | (4,-3) | D. | (-4,3) |
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A. | B. | C. | D. |
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