Question

16．如图，圆内接△ABC中，AB=AC，弦AE与BC相交于点D．
（1）求证：AB²=AD•AE；
（2）如果弦AE的延长线和BC的延长线相交于点D，那么（1）中的结论是否还成立？请画出图形，提出猜想并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）连接BE，由等腰三角形的性质和圆周角定理证出∠ABC=∠E，证明△ABD∽△AEB，得出对应边成比例即可；
（2）由圆内接四边形的性质和邻补角证出∠AEC=∠ACD，证明△ACE∽△ADC，得出对应边成比例证出AC²=AD•AE，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接BE，如图1所示：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠E=∠C，
∴∠ABC=∠E，
又∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴AB：AE=AD：AB，
∴AB²=AD•AE；
（2）解：（1）中的结论还成立；理由如下：
如图2所示：连接CE，
∵∠ABC+∠AEC=180°，∠ACD+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴∠AEC=∠ACD，
又∵∠CAE=∠DAC，
∴△ACE∽△ADC，
∴AC：AD=AE：AC，
∴AC²=AD•AE，
∵AB=AC，
∴AB²=AD•AE．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识；证明三角形相似是解决问题的关键．