Question

16．【情景观察】
将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P、Q，如图1，观察图1可知：与NQ相等的线段是PR，与∠NRQ相等的角是∠PMR．
【问题探究】
直角△ABC中，∠B=90°，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L．试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论．
【拓展延伸】
直角△ABC中，∠B=90°，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3，如果AC=kCE，CD=kCH，试探究TE与TH之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 【情景观察】根据等腰直角三角形的性质得到MR=RN，∠MRN=90°，根据余角的性质得到∠PMR=∠NRQ，根据全等三角形的性质得到结论；
【问题探究】根据四边形ACEF是正方形，得到AC=CE，∠ACE=90°根据余角的性质得到∠BAC=∠ECK，根据全等三角形的性质即可得到EK=BC，同理得到BC=HI，等量代换即可得到结论；
【拓展延伸】根据四边形ACEF是矩形，得到∠ACE=90°，根据余角的性质得到∠BAC=∠ECM根据相似三角形的性质得到BC=kEM，同理同理得到BC=kHN，等量代换得到EM=HN，推出△NHT≌△EMT，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 【情景观察】∵△MRN是等腰直角三角形，
∴MR=RN，∠MRN=90°，
∵MP⊥PQ，NQ⊥PQ，
∴∠MPR=∠NQ=90°，
∴∠PMR+∠MRP=∠MRP+∠NRQ=90°，
∴∠PMR=∠NRQ，
在△MPR与△NRQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMR=∠NRQ}\\{∠MPR=∠NRQ}\\{MR=NR}\end{array}\right.$，
∴△MPR≌△NRQ，
∴QN=PR，∠NRQ=∠PMR，
故答案为：PR，∠PMR；

【问题探究】∵四边形ACEF是正方形，
∴AC=CE，∠ACE=90°，
∵EK⊥BK，
∴∠B=∠EKC=90°，
∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠ECK=90°，
∴∠BAC=∠ECK，
在△ABC与△CEK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠KCE}\\{∠B=∠EKC}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CEK，
∴EK=BC，
∵四边形CDGH是正方形，∴CD=CH，∠DCH=90°，
∵HI⊥BC，
∴∠B=∠CIH=90°，
∴∠DCB+∠ICK=∠ICK+∠CHI=90°，∴∠DCB=∠CHI，
在△DCB与△CHI中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CIH}\\{∠BCD=∠CHI}\\{CD=CH}\end{array}\right.$，∴△DCB≌△CHI，
∴BC=HI，
∴EK=IH；

【拓展延伸】如图3，过E作EM⊥BC于M，过H作HN⊥BC于N，
∵四边形ACEF是矩形，
∴∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠ECM=90°，
∴∠BAC=∠ECM，∴△ACB∽△ECM，
∴$\frac{BC}{EM}=\frac{AC}{CE}$=k，
∴BC=kEM，
同理△BCD∽△NHC，
∴$\frac{BC}{HN}=\frac{CD}{CH}$=K，
∴BC=kHN，
∴EM=HN，
在△NHT与△EMT中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HNT=∠EMT=90°}\\{∠NTH=∠MTE}\\{HN=EM}\end{array}\right.$，
∴△NHT≌△EMT，
∴ET=HT．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，余角的性质，（3）证得△ACB∽△ECM，△BCD∽△NHC是解题的关键．