【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)
【答案】(1)BC与⊙O相切,理由见解析;(2)①⊙O的半径为2.②S阴影= .
【解析】试题(1)根据题意得:连接OD,先根据角平分线的性质,求得∠BAD=∠CAD,进而证得OD∥AC,然后证明OD⊥BC即可;
(2)设⊙O的半径为r.则在Rt△OBD中,利用勾股定理列出关于r的方程,通过解方程即可求得r的值;然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得结果.
试题解析:(1)相切.
理由如下:
如图,连接OD.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠BAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC.
又∠C=90°,
∴OD⊥BC,
∴BC与⊙O相切
(2)①在Rt△ACB和Rt△ODB中,
∵AC=3,∠B=30°,
∴AB=6,OB=2OD.又OA=OD=r,
∴OB=2r,
∴2r+r=6,
解得r=2,
即⊙O的半径是2
②由①得OD=2,则OB=4,BD=2,
S阴影=S△BDO-S扇形CDE=×2×2-=2-π
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【题目】长方形的长为a厘米,宽为b厘米,其中a>b,如果将原长方形的长和宽各增加3厘米,得到的新长方形面积记为S1,如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米,得到的新长方形面积记为S2.
(1)若a、b为正整数,请说明:S1与S2的差一定是5的倍数;
(2)如果S1=2S2,求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积;
(3)如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能没有缝隙没有重叠地拼成一个正方形,求a,b的值.
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【题目】小方与同学一起去郊游,看到一棵大树斜靠在一小土坡上,他想知道树有多长,于是他借来测角仪和卷尺.如图,他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°,沿着CB方向向大树行进10米到达点D,测得树AB顶端A的仰角为45°,又测得树AB倾斜角∠1=75°.
(1)求AD的长.
(2)求树长AB.
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【题目】下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程.
已知:线段,及∠O .
求作:△ABC,使得线段,及∠O分别是它的两边和一角.
作法:如图,
①以点O为圆心,长为半径画弧,分别交∠O的两边于点M ,N;
②画一条射线AP,以点A为圆心,长为半径画弧,交AP于点B;
③以点B为圆心,MN长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点D;
④画射线AD;
⑤以点A为圆心,长为半径画弧,交AD于点C;
⑥连接BC ,则△ABC即为所求作的三角形.
请回答:
(1)步骤③得到两条线段相等,即 = ;
(2)∠A=∠O的作图依据是 ;
(3)小红说小明的作图不全面,原因是 .
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【题目】在△ABC中,AB>BC,直线l垂直平分AC.
(1)如图1,作∠ABC的平分线交直线l于点D,连接AD,CD.
①补全图形;
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系,并证明.
(2)如图2,直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D,连接AD,CD.求证:∠BAD=∠BCD.
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【题目】如图,△ABC中,AB=,AC=2,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°至AD,D恰在BC的延长线上,则下列关于此图形的一些说法中正确的有( )
(1)△ACD是等边三角形;(2)∠B=30°;
(3)△ABD是直角三角形;(4)点C是BD的中点.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】四张扑克牌(方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5)的牌面如图l,将扑克牌洗匀后,如图2背面朝上放置在桌面上.小亮和小明设计的游戏规则是两人同时抽取一张扑克牌,两张牌面数字之和为奇数时,小亮获胜;否则小明获胜.请问这个游戏规则公平吗?并说明理由.
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