解:(1)∵△ABC是等边三角形,AB的长为a,
∴AB=BC=a.
又∵△P′BC′是由△PBC绕点B顺时针旋转60°得到的,
∴∠PBP′=∠CBC′=60°,
∴S
阴影=
-
=
π(a
2-b
2);
(2)如图,将△BPC绕着点B顺时针旋转60°到△BP′C′的位置,连接PP′.
则△BPC≌△BP′C′,∠PBP′=60°,
∴BP=BP′,
∴△BPP′为等边三角形,
∴∠BPP′=∠BP′P=60°,PP′=BP,C′P′=CP,
则AP+BP+CP=AP+PP′+P′C′≥AC′,
显然当A、P、P′、C′四点在同一直线上时,AP+BP+CP有最小值,
此时,∠APB=120°,∠BP′C′=120°,
于是∠BPC=∠BP′C′=120°,∠APC=360°-2×120°=120°,
∴当∠APC=∠BPC=∠APB=120°时,AP+BP+CP的和最小.
分析:(1)根据旋转变换的性质可得阴影部分的面积等于以BC为半径的扇形面积减去以BP为半径的扇形的面积,然后列式进行计算即可得解;
(2)如图,将△BPC绕着点B顺时针旋转60°到△BP′C′的位置,连接PP′.通过旋转,使A、P、P′、C′四点共线,这样AP+BP+CP的和最小.
点评:本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定与性质以及扇形的面积公式等知识点.观察出阴影部分的面积的表示是解答(1)题的关键.