Question

【题目】二次函数y=ax2＋bx＋c图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．若此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C.

（1）试求a，b所满足的关系式；

（2）当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；

（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【答案】 （1）a＋b=－1；（2）a=－4＋；（3）不存在.

【解析】

（1）把点A（1，0）和点B（0，1）的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到关于a，b，c关系式．整理就得到a，b的关系．
（2）利用公式求出抛物线的顶点的纵坐标，进而表示出△AMC的面积，根据就可以得到关于a的方程，解得a的值；
（3）本题应分A是直角顶点，B是直角顶点，C是直角顶点三种情况进行讨论．

（1）将A（1，0），B（0，l）代入y=ax2＋bx＋c得：

，可得：a＋b=－1

（2）(2)∵a+b=1，

∴b=a1代入函数的解析式得到：y=ax2(a+1)x+1，

顶点M的纵坐标为 ，

因为

由同底可知：＝

整理得：a2＋8a＋1=0，得：a=－4±

由图象可知：a<0，因为抛物线过点（0，1），顶点M在第二象限，其对称轴x=,

∴-1<a<0,

∴a=－4－舍去，从而a=－4＋

（3）① 由图可知，A为直角顶点不可能；

② 若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；

③ 若设B为直角顶点，则可知，得：

令，可得：，，

得：，

∴

解得：a=-1，由－1＜a＜0，不合题意．所以不存在

综上所述：不存在.