Question

综合与探究：如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。

（1）求点A,B,C的坐标。
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当y=0时，，解得，，
∵点B在点A的右侧，∴点A，B的坐标分别为：（－2，0），（8，0）。
当x=0时，，∴点C的坐标为（0，－4）。
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）。
设直线BD的解析式为，则，解得，。
∴直线BD的解析式为。
∵l⊥x轴，∴点M，Q的坐标分别是（m，），（m，）
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形。
∴，化简得：。
解得，m₁=0，（舍去）m₂=4。
当m=4时，四边形CQMD是平行四边形，此时，四边形CQBM也是平行四边形。理由如下：
∵m=4，∴点P是OB中点。
∵l⊥x轴，∴l∥y轴。
∴△BPM∽△BOD。∴。∴BM=DM。
∵四边形CQMD是平行四边形，∴DMCQ。∴BMCQ。
∴四边形CQBM为平行四边形。
（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q₁（－2，0），Q₂（6，－4）。

试题分析：（1）根据坐标轴上点的特点，可求点A，B，C的坐标。
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状。
（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD两种情况讨论可求点Q的坐标：由B（8，0），D（0，4），Q（m，）应用勾股定理求出三边长，再由勾股定理分DQ⊥BD，BQ⊥BD两种情况列式求出m即可。