Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点B的横、纵坐标分别是一元二次方程x²+5x﹣24=0的两个实数根，点D是AB的中点．

（1）求点B坐标；
（2）求直线OD的函数表达式；
（3）点P是直线OD上的一个动点，当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

(1)点B坐标为（﹣8，3）；（2）；（3）P点的坐标为标为、、、.

解析试题分析：本题考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解方程，中点坐标公式，待定系数法，等腰三角形的判定与性质，分类思想的运用，综合性较强．（1）解方程x2+5x-24=0得到它的两个实数根，根据点B所在象限进一步得到点B坐标（﹣8，3）；（2）由点D是AB的中点，结合点B的坐标可得点D坐标（-4,3），再根据待定系数法得到正比例函数直线OD的函数表达式为：；（3）由点P在直线OD上，可设P点的坐标为，当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时，应分三种情况讨论：即①PA=PD；②AP=AD；③DP=DA；分别就三种情况求出P点的坐标．
试题解析：
解：（1）解方程x²+5x﹣24=0，
得x₁=﹣8，x₂=3，
∴点B坐标为（﹣8，3）；
∵点D是AB的中点，
∴D（﹣4，3）；
设直线OD的解析式为，
∴3=﹣4k，解得
∴直线OD的函数表达式为
（3）由A（0，3），D（﹣4，3）可知：AD=4．
设P点的坐标为，当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA=PD，那么点P在AD的垂直平分线上，
∴x=﹣2，
∴P点的坐标为.
②如果AP=AD，那么
解得：（与D点重合舍去），
当时，
∴P点的坐标为
③如果DP=DA，那么
解得：，
当时，；
当时，.
∴P点的坐标为，.
综上所述，P点的坐标为标为、、、.
考点：1、一次函数综合题；2、动点问题-构造等腰三角形.