Question

10．已知直线l：y=kx+2与直线m：y=x相交于P点，且点P的横坐标为1，直线l与x轴交于点D，与反比例函数G：y=$\frac{n}{x}$的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），若DM+DN＜3$\sqrt{2}$，求n的取值范围．

Answer 1

分析 先求P点的坐标（1，1），代入y=kx+2中可求得k=-1，分两种情况进行讨论：①当n＞0时，如图2，求出AD=2$\sqrt{2}$，所以交点M、N都能满足DM+DN＜3$\sqrt{2}$，所以列方程求△＞0即可；②当n＜0时，如图3，因为n越小离两坐标轴越远，所以求
DM+DN=3$\sqrt{2}$时的n值即可．

解答 解：如图1，当x=1时，y=1，
∴P（1，1），
把P（1，1）代入y=kx+2中得：1=k+2，
k=-1，
∴直线l：y=-x+2，
分两种情况：
①当n＞0时，如图2，
∵直线l：y=-x+2与x轴交于D（2，0），与y轴交于A（0，2），
∴AD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵DM+DN＜3$\sqrt{2}$，
∴只要y=-x+2与y=$\frac{n}{x}$有两个交点即可，
∴-x+2=$\frac{n}{x}$，
x2-2x+n=0，
b2-4ac=4-4n＞0，
n＜1，
∴0＜n＜1；
②当n＜0时，如图3，
当DM+DN=3$\sqrt{2}$时，AM+DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵直线l：y=-x+2与x轴交于D（2，0），与y轴交于A（0，2），
则M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
xy=n=-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{4}$，
∴-$\frac{5}{4}$＜n＜0，
综上所述：n的取值范围是0＜n＜1或-$\frac{5}{4}$＜n＜0．

点评 本题考查了一次函数、反比例函数的交点问题，有难度，本题采用了分类讨论的思想，反比例函数系数的不同与一次函数交点的距离也不同，根据数形结合的思想进行计算．