Question

6．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CF是∠ACB的交平分线，点D在边AB上，∠ACD=∠A，ED⊥AB交CF的延长线于点E，求证：∠E=∠DCF．

Answer 1

分析 由∠ACB=90°，CF是∠ACB的交平分线，得到∠ACF=∠BCF=45°，于是得到∠DCF=45°-∠ACD=45°-∠A，根据三角形外角的性质得到∠AFC=45°+∠A，由ED⊥AB，得到∠E=90°-∠DFE，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵∠ACB=90°，CF是∠ACB的交平分线，
∴∠ACF=∠BCF=45°，
∵∠ACD=∠A，
∴∠DCF=45°-∠ACD=45°-∠A，
∴∠AFC=45°+∠A，
∵ED⊥AB，
∴∠E=90°-∠DFE，
∵∠DFE=∠CFB，
∴∠E=90°-（45°+∠A）=45°-∠A，
∴∠E=∠DCF．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．