分析 连接OC,则可得出∠A=∠ACO,从而利用外角的知识可得∠BOC=2α,再由2α+β=90°可判断出∠OCB=90°,继而可判断出BC是⊙O的切线,根据同圆的半径相等OC=OA=6,OC⊥BC,利用sinB=$\frac{3}{5}$=$\frac{OC}{OB}$可求出OB的长度,在RT△OBC中利用勾股定理可得出BC的长度.
解答 解:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A,
∵∠BOC=∠A+∠ACO=2∠A,
∴∠BOC+∠B=2∠A+∠B=90°,
∴∠BCO=90°,即OC⊥BC,
∵C在⊙O上,
∴BC是⊙O的切线.
∵OC=OA=6,OC⊥BC,
在Rt△BOC中,sinB=$\frac{OC}{OB}$,
∵sinβ=$\frac{3}{5}$,
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{OB}$,
∴OB=10,
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}-O{C}^{2}}$=8.
点评 此题考查了切线的判定,勾股定理,以及圆周角定理,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.关键是利用sinB的值求出OB的长度,有一定难度.
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