【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)点M是的中点,CM交AB于点N,若AB=6,求MNMC的值.
【答案】(1)详见解析;(2)18
【解析】
(1)已知C在圆上,故只需证明OC与PC垂直即可,根据圆周角定理,易得∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP,故PC是⊙O的切线;
(2)连接MA,MB,由圆周角定理可得∠ABM=∠BCM,进而可得△MBN∽△MCB,故BM2=MNMC,代入数据可得MNMC= BM2=18.
(1)证明:∵∠COB=2∠PCB,∠COB=2∠A,
∴∠A=∠PCB,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠CBA=90°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP,
∵OC是⊙O的半径,
∴PC是⊙O的切线;
(2)连接MA、MB,
∵点M是的中点,
∴∠ABM=∠BCM,
又∵∠BMN=∠CMB,
∴△MBN∽△MCB,
∴,即MN·MC=MB2,
又∵AB是⊙O的直径且点M是的中点,
∴∠AMB=90°且AM=BM,
∵AB=6,
∴BM=AM=,
∴MN·MC=BM2=18.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y=x的图像与反比例函数y=的图像交于A,B两点,且点A的坐标为(6,a).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)已知点C(b,4)在反比例函数y=的图像上,点P在x轴上,若△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍,请求出点P的坐标.
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【题目】已知,在△ABC中,∠ABC=90°
(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线MN的垂线,垂足分别为M、N.
①求证:△AMB∽△BNC;
②若△AMB∽△ABC,求证:AC=AM+CN;
(2)如图2,点D是CA延长线上的一点,DE⊥EB,AE=AB,AD:BC:CA=3:3:5,求的值.
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【题目】已知:如图,在中,是AC中点,BE平分交AC于点E,点O是AB上一点,过B、E两点,交BD于点G,交AB于点,则下面结论正确的有填序号 ______(1)与相切;(2);(3)的直径等于8;(4)AE
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为4,2,反比例函数y=(x>0)的图象经过A,B两点,若菱形ABCD的面积为2,则k的值为______.
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【题目】为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元,2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元.
(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元?
(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只,要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】水果店购进某种水果的成本为10元/千克,经市场调研,获得销售单价p(元/千克)与销售时间t(1≤t≤15,t为整数)(天)之间的部分数据如下表:
销售时间t(1≤t≤15,t为整数)(天) | 1 | 4 | 5 | 8 | 12 |
销售单价p(元/千克) | 20.25 | 21 | 21.25 | 22 | 23 |
已知p与t之间的变化规律符合一次函数关系.
(1)试求p关于t的函数表达式;
(2)若该水果的日销量y(千克)与销售时间t(天)的关系满足一次函数y=-2t+120(1≤t≤15,t为整数).
① 求销售过程中最大日销售利润为多少?
② 在实际销售的前12天中,公司决定每销售1千克水果就捐赠n元利润(n<3)给“精准扶贫”对象.现发现:在前12天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求n的取值范围
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【题目】甲、已两家商场平时以同样价格出售相同的商品,春节期间两家商场都让利酬宾,其中甲商场所有商品按折出售,乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打折. 设原价购物金额累计为元().
根据题意,填写下表: (单位:元)
原价购物金额累计/元. | 130 | 300 | 700 | ··· |
甲商场实际购物金额/元 | 104 | 560 | ··· | |
乙商场实际购物金额/元 | 130 | 270 | ··· |
设在甲商场实际购物金额为元,在乙商场实际购物金额为元,分别写出,关于的函数解析式;
根据题意填空:
①若在同甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多,则在同一商场所购商品原价金额累计为______元 ;
②若在同一商场购物,商品原价购物金额累计为 元,则在甲、乙.两家商场中的 商场实际购物花费金少.
③若在同一商场实际购物金额为元,则在甲、乙两家商场中的_____商场商品原价购物累计金额多.
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【题目】△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;
(3)在(2)的条件下,BP=2,CQ=9,则BC的长为_______.
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