Question

已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′处．若点A′，B′，C′在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积；
（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A′B′C′存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积，并写出m的取值范围．（直接写出结果）

Answer 1

解：（1）∵每个小三角形的面积是
∴重叠三角形A'B'C'的面积为；

（2）重叠的等边三角形A'B'C'的边长|8-m-m|=|8-2m|，
根据S=absinC得：
面积是：••|8-2m|²=（4-m）²，
用含m的代数式表示重叠三角形A'B'C'的面积为（4-m）²，
m的取值范围为≤m＜4．
分析：（1）每个小三角形的面积是，由图知，阴影部分有四个小三角形，故重叠三角形A'B'C'的面积为；
（2）当AD的长为m，BD为8-m，根据三角形的面积公式可得．
点评：本题是一个探究性的折叠问题，考查了等边三角形的性质、图形的折叠、平行四边形的性质等，同时考核了学生对新知识的探究能力．本题题目较长，理解题意是解决本题的关键．