【题目】在△ABC中,∠AOB=90°,AO=BO,直线MN经过点O,且AC⊥MN于C,BD⊥MN于D
(1)当直线MN绕点O旋转到图①的位置时,求证:CD=AC+BD;
(2)当直线MN绕点O旋转到图②的位置时,求证:CD=AC﹣BD;
(3)当直线MN绕点O旋转到图③的位置时,试问:CD、AC、BD有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)CD=BD﹣AC,证明见解析.
【解析】试题分析:(1)通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD,AC=OD,则CD=AC+BD;
(2)通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD,AC=OD,则CD=AC-BD;
(3)通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD,AC=OD,则CD=BD-AC.
试题解析:(1)如图1,
∵△AOB中,∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
直线MN经过点O,且AC⊥MN于C,BD⊥MN于D,
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°,
∴∠OAC=∠BOD,
在△ACO和△ODB中,
∴△ACO≌△ODB(AAS),
∴OC=BD,AC=OD,
∴CD=AC+BD;
(2)如图2,
∵△AOB中,∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
直线MN经过点O,且AC⊥MN于C,BD⊥MN于D,
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°,
∴∠OAC=∠BOD,
在△ACO和△ODB中,
,
∴△ACO≌△ODB(AAS),
∴OC=BD,AC=OD,
∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD,即CD=AC﹣BD.
(3)如图3,
∵△AOB中,∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
直线MN经过点O,且AC⊥MN于C,BD⊥MN于D,
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°,
∴∠OAC=∠BOD,
在△ACO和△ODB中,
,
∴△ACO≌△ODB(AAS),
∴OC=BD,AC=OD,
∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC,
即CD=BD﹣AC.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.对角线相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
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【题目】a为有理数,定义运算符号▽:当a>-2时,▽a=-a;当a<-2时,▽a=a;当a=-2时,▽a=0.根据这种运算,则[4+▽(2-5)]的值为( )
A. -1 B. 7 C. -7 D. 1
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【题目】已知二次函数(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且CP:PD=2:3.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若tan∠PDB=,求这个二次函数的关系式.
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