Question

【题目】如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．

（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵DF⊥AG，BE⊥AG，

∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS）．

（2）解：设EF=x，则AE=DF=x+1，

由题意2× ×（x+1）×1+ ×x×（x+1）=6，

解得x=2或﹣5（舍弃），

∴EF=2．

【解析】（1）根据正方形的性质得出AB=AD，又根据垂直的定义及同角的余角相等得出∠BAE=∠ADF。然后根据AAS判断出△ABE≌△DAF；
（2）根据全等三角形对应边相等得出AE=DF，设EF=x，则AE=DF=x+1，根据四边形ABED的面积=S△ABE+S△AFD+S△DEF列出方程求解即可。
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．