Question

9．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB=2AC．
（1）如图①，点P是弧BC上一点，求∠APC的大小；
（2）如图②，过点C作⊙O的切线MC，过点B作BD⊥MC于点D，BD与⊙O交于点E，若AB=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由AB为⊙O的直径，AB=2AC，得到△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC=60°，于是得到结论；
（2）连接AE，OC与AE相交于F，由MC是⊙O的切线，得到MC⊥OC，求得∠MCO=∠CDB=90°，根据爬长城的判定定理得到BD∥OC，由平行线的性质得到∠AFO=∠AEB，由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，由垂径定理得到$\widehat{CE}=\widehat{AC}$，于是得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB=2AC，
∴OA=OC=AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠APC=$\frac{1}{2}∠$AOC=30°；

（2）连接AE，OC与AE相交于F，
∵MC是⊙O的切线，
∴MC⊥OC，
∵BD⊥MC，
∴∠MCO=∠CDB=90°，
∴BD∥OC，
∴∠AFO=∠AEB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OC⊥AE，
∴$\widehat{CE}=\widehat{AC}$，
∴CE=AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×$4=2．

点评 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．