Question

7．△ABC，∠B=∠C=30°，P为BC中点，∠MPN=30°，求证：△BPM∽△CNP∽△PNM；MP平分∠BMN；NP平分∠CNM；MN=BM+CN-$\frac{3}{2}$AB；BM•CN=$\frac{3}{4}$AB²．

Answer 1

分析 首先证明△BMP∽△CPN，推出$\frac{PM}{PN}$=$\frac{BM}{PC}$=$\frac{PB}{CN}$，由PB=PC，得到$\frac{PM}{BM}$=$\frac{PN}{BP}$，由此可证△BPM∽△CNP∽△PNM；根据相似三角形对应角相等，可以判断MP平分∠BMN；NP平分∠CNM；如图2中，作PE⊥MN于E，PF⊥AC于F，PG⊥AB于G，由△PMG≌△PME，推出MG=ME，再根据MN=ME+EN=MG+NF=BM-BG+CN-CF=BM+CN-BG-CF，即可证明MN=BM+CN-$\frac{3}{2}$AB，由△BMP∽△CPN，推出$\frac{BM}{PC}$=$\frac{PB}{CN}$，即可证明BM•CN=$\frac{3}{4}$AB²

解答 证明：如图，

连接AP，
∵∠B=∠C=30°，P为BC中点，
∴AP⊥BC，
∴∠APB=∠APC=90°，∠BAP=∠CAP=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=60°，
∴∠BPM+∠1=90°，
∴∠BMP=∠BAP+∠1=60°+∠1，
∵∠MPN=30°，
∴∠APN=30°-∠1，
∴∠CNP=∠CAP+∠APN=60°+30°-∠1=90°-∠1，
∴∠CPN=180°-∠C-∠CNP=180°-30°-（90°-∠1）=60°+∠1，
∴∠BMP=∠CPN，
∵∠B=∠C，
∴△BPM∽△CNP，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PM}{PC}$=$\frac{PB}{CN}$，
∵PB=PC，
∴$\frac{PM}{BM}$=$\frac{PN}{PB}$，
∵∠B=∠MPN=30°，
∴△BMP∽△PMN∽△CPN．
∴∠BMP=∠PMN，∠MNP=∠CNP，
∴MP平分∠BMN；NP平分∠CNM．
如图2中，作PE⊥MN于E，PF⊥AC于F，PG⊥AB于G．

∵MP平分∠BMN；NP平分∠CNM，
∴PG=PE=PF，
在Rt△PMG和Rt△PME中，
$\left\{\begin{array}{l}{PM=PM}\\{PG=PE}\end{array}\right.$，
∴△PMG≌△PME，
∴MG=ME，同理可证NE=NF，
∴MN=ME+EN=MG+NF=BM-BG+CN-CF=BM+CN-BG-CF，
在Rt△PBG中，∵∠B=30°，∠PGB=90°，
∴BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB，
在Rt△PBA中，∵∠B=30°，∠APB=90°，
∴BP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴BG=$\frac{3}{4}$AB
同理可证CF=$\frac{3}{4}$AB
∴MN=BM+CN-$\frac{3}{4}$AB-$\frac{3}{4}$AB=BM+CN-$\frac{3}{2}$AB．
∵△BMP∽△CPN，
∴$\frac{BM}{PC}=\frac{PB}{CN}$，
∴BM•CN=PC•PB=PB²=$\frac{3}{4}$AB²．

点评 本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．