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如图,在矩形ABCD中,点E为CD上一点,将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处,将线段EF绕点F旋转,使点E落在BE上的点G处,连接CG.
(1)证明:四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=8,BC=10,求四边形CEFG的面积;
(3)试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时,BG=CG,请写出你的探究过程.
分析:(1)由折叠得到EF=CE,∠FEG=∠CEG,再加上公共边GE,利用SAS可得出三角形EFG与三角形CEG全等,利用全等三角形的对应边相等可得出GF=CG,再由FG是线段EF旋转得到的,故FG=EF,等量代换可得出四边形EFGC四条边相等,进而确定出此四边形为菱形;
(2)连接FC,与GE交于点O,由折叠得到BF=BC=10,在直角三角形ABF中,由AB及BF的长,利用勾股定理求出AF=6,再由矩形的对边相等得到AD=10,用AD-AF求出FD的长,设DE=x,由EF=CE,用CD-DE表示出CE,即为EF的长,在直角三角形EDF中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为ED的长,在直角三角形FDC中,由DC及DF的长,利用勾股定理求出CF的长,根据四边形EFGC为菱形,对角线互相平分,得到OF为CF的一半,求出OF的长,再由菱形的对角线互相垂直,得到三角形EOF为直角三角形,由EF及OF的长,求出OE的长,根据GE=2OE,得到GE的长,最后利用菱形的对角线乘积的一半即可求出菱形EFGC的面积;
(3)当线段AB与BC满足
AB
BC
=
3
2
时,BG=CG,理由为:在直角三角形ABF中,利用特殊角的三角函数值及锐角三角函数定义求出∠ABF的度数,进而确定出∠FBC的度数,再由折叠得到∠FBE=∠EBC,求出∠EBC为30°,可得出∠BEC为60°,再由GC=CE得到三角形CGE为等边三角形,再由30°所对的直角边EC等于斜边BE的一半,得到GE为BE的一半,即G为BE的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到CG与BG相等都为BE的一半.
解答:解:(1)根据翻折的方法可得:EF=EC,∠FEG=∠CEG,
在△EFG和△ECG中,
EF=EC
∠FEG=∠CEG
GE=GE

∴△EFG≌△ECG(SAS),
∴FG=GC,
∵线段FG是由EF绕F旋转得到的,
∴EF=FG,
∴EF=EC=FG=GC,
∴四边形FGCE是菱形;

(2)连接FC,交GE于O点,
根据折叠可得:BF=BC=10,
∵AB=8,
在Rt△ABF中,
根据勾股定理得:AF=
BF2-AB2
=6,
∴FD=AD-AF=10-6=4,
设EC=x,则DE=8-x,EF=x,
在Rt△FDE中:FD2+DE2=EF2,即42+(8-x)2=x2
解得:x=5,
在Rt△FDC中:FD2+DC2=CF2
则:42+82=FC2
解得:FC=4
5

∵四边形FGCE是菱形,
∴FO=
1
2
FC=2
5
,EO=
1
2
GE,GE⊥FC,
在Rt△FOE中:FO2+OE2=EF2,即(2
5
2+EO2=52
解得:EO=
5

∴GE=2EO=2
5

则S菱形CEFG=
1
2
×FC×GE=
1
2
×4
5
×2
5
=20;

(3)当
AB
BC
=
3
2
时,BG=CG,理由为:
由折叠可得:BF=BC,∠FBE=∠CBE,
∵在Rt△ABF中,
AB
BC
=
3
2

∴cos∠ABF=
3
2
,即∠ABF=30°,
又∵∠ABC=90°,
∴∠FBC=60°,EC=
1
2
BE,
∴∠FBE=∠CBE=30°,
∵∠BCE=90°,
∴∠BEC=60°,
又∵GC=CE,
∴△GCE为等边三角形,
∴GE=CG=CE=
1
2
BE,
∴G为BE的中点,
则CG=BG=
1
2
BE.
点评:此题考查了菱形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,折叠变换及旋转的性质,矩形的性质,以及含30°直角三角形的性质,熟练掌握性质及判定是解本题的关键.
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