分析 探究二,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可;
探究三,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答;
探究四,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答.
解答 解:探究二:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为3,
所以EF=FG=GH=HE=$\sqrt{3}$,设EB=x,则BF=$\sqrt{3}$-x,
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=$\sqrt{3}$-x
在Rt△AEB中,由勾股定理,得
x2+($\sqrt{3}$-x)2=12
整理得x2-$\sqrt{3}$x+1=0
b2-4ac=3-4<0,
此方程无解,
不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍;
探究三:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为4,
所以EF=FG=GH=HE=2,设EB=x,则BF=2-x,
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=2-x
在Rt△AEB中,由勾股定理,得
x2+(2-x)2=12
整理得2x2-4x+3=0
b2-4ac=16-24<0,
此方程无解,
不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍,
故答案为:不存在;
探究四:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为n,
所以EF=FG=GH=HE=$\sqrt{n}$,设EB=x,则BF=$\sqrt{n}$-x,
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=$\sqrt{n}$-x
在Rt△AEB中,由勾股定理,得
x2+($\sqrt{n}$-x)2=12
整理得2x2-2$\sqrt{n}$x+n-1=0
b2-4ac=8-4n<0,
此方程无解,
不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的n倍.
点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法,读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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