Question

如图，△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D在AB上．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=1，BD=2，求ED的长．

Answer 1

分析：（1）根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°，所以△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE长度．

解答：（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD EC=DC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）解：又∠BAC=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
即△EAD是直角三角形，
∴DE²=AE²+AD²=1²+2²=5．
∴DE=

5

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练运用边角边定理证明三角形全等是解题关键．