Question

矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE、在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为

 

．

Answer 1

分析：由翻折的性质知，BP=B′P，而要点P到CD的距离等于PB，则该垂线段必为PB′，故有PB′⊥CD，延长AE交DC的延长线于点F，由于DF∥AB，则∠F=∠BAE=∠B′AE，所以B′F=B′A=AB=5，而B′P∥AD，利用平行线分线段成比例定理（或相似三角形的性质）即可求得B′P的长，由此得解．

解答：解：方法1：根据折叠的性质知：BP=PB′，若点P到CD的距离等于PB，则此距离必与B′P相同，所以该距离必为PB′．延长AE交DC的延长线于F．
由题意知：AB=AB′=5，∠BAE=∠B′AE；
在Rt△AB′D中，AB′=5，AD=4，故B′D=3；
由于DF∥AB，则∠F=∠BAE，
又∵∠BAE=∠B′AE，
∴∠F=∠B′AE，
∴FB′=AB′=5；
∵PB′⊥CD，AD⊥CD，
∴PB′∥AD，
∴

PB′

AD

=

FB′

DF

，即

PB′

4

=

5

5+3

，
解得PB′=2.5；

方法2：过B′做CD的垂线交AE于P点，连接PB，易于说明，P即是符合题意的．
在Rt△AB′D中，AB′=5，AD=4，故B′D=3
所以CB′=2
设BE=a，CE=4-a
又EB′=EB=a，
在Rt△ECB′中
（4-a）²+2²=a²
解得a=2.5，
连接BB′，由对称性可知，BG=B′G，EP⊥BB′，
BE∥B′P，∴△BEG≌△B′PG，∴BE=B′P，
∴四边形BPB′E为平行四边形，又BE=EB′
所以四边形BPB′E是菱形
所以PB′=BE=a=2.5
故所求距离为2.5．
故此相等的距离为2.5．

点评：此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关键是能够发现PB′就是所求的P到CD的距离．