如图.已知在平面直角坐标系xOy中.O为坐标原点.点A.B分别在x轴上(点A在原点左侧.点B在原点右侧).OB=4OA.经过点A.B的抛物线交y轴于点C(0.2).且∠ACB=90°．(1)求抛物线的解析式,(2)点N为该抛物线第一象限上一点.满足∠NOC=∠CBO.联结BN.NO.求△BON的面积,(3)点D为抛物线对称轴上一点.且在x轴下方.点E在y轴负半轴上.当以B.E.D为顶点的三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A，B分别在x轴上（点A在原点左侧，点B在原点右侧），OB=4OA，经过点A，B的抛物线交y轴于点C（0，2），且∠ACB=90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N为该抛物线第一象限上一点，满足∠NOC=∠CBO，联结BN，NO，求△BON的面积；
（3）点D为抛物线对称轴上一点，且在x轴下方，点E在y轴负半轴上，当以B，E，D为顶点的三角形与△ABC相似时（∠DBE与∠ABC为对应角），求点D的坐标．

分析（1）如图1中，由题意OB=4OA，设OA=m，则OB=4m易知△ACO∽△CBO，可得OC²=OA•OB，推出m=1或（-1舍弃），可得A（-1，0），B（4，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），把（0，2）代入得到a=-$\frac{1}{2}$即可解决问题；
（2）想办法求出直线ON的解析式，利用方程组求出交点N的坐标即可解决问题；
（3）分两种情形讨论：①如图2中，当∠BED=90°时，△BED∽△BCA，②如图3中，当∠EDB=90°时，△BDE∽△BCA，分别求解即可；

解答解：（1）如图1中，由题意OB=4OA，设OA=m，则OB=4m，
∵∠ACB=90°，易知△ACO∽△CBO，
∴可得OC²=OA•OB，
∴4m²=4，
∴m=1或（-1舍弃），
∴A（-1，0），B（4，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），
把（0，2）代入得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）如图1中，设ON交BC于M．作MH⊥AB于H．
∵∠COM=∠CBO，∠COM=∠OCB，
∴△OCM∽△BCO，
∴OC²=CM•CB，
∴4=CM•2$\sqrt{5}$，
∴CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，MB=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵MH∥OC，
∴$\frac{MH}{OC}$=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{BH}{BO}$，
∴$\frac{MH}{2}$=$\frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{BH}{4}$，
∴MH=$\frac{8}{5}$，BH=$\frac{16}{5}$，OH=$\frac{4}{5}$，
∴M（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∴直线ON的解析式为y=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\\{y=-1+\sqrt{17}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\\{y=-1-\sqrt{17}}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-1+$\sqrt{17}$），
∴S_△OBN=$\frac{1}{2}$×4×（-1+$\sqrt{17}$）=-2+2$\sqrt{17}$．

（2）①如图2中，当∠BED=90°时，△BED∽△BCA，
∴BE：DE=BC：AC=2：1，
作DH⊥y轴于H．
易证△DHE∽△EOB，
∴OE：DH=BE：DE=2：1，
∵DH=$\frac{3}{2}$，
∴OE=3，EH=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴D（$\frac{3}{2}$，-5）．

②如图3中，当∠EDB=90°时，△BDE∽△BCA，
∴BD：DE=BC：AC=2：1，
作DH⊥y轴于H，BN⊥DH于N．
由△HDE∽△NBD，可得BN：DH=BD：DE=2：1，
∴BN=3，
∴D（$\frac{3}{2}$，-3），
综上所述，满足条件的点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，-5）或（$\frac{3}{2}$，-3）．

点评本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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